Enunciado

O diagrama carga-deformação mostrado foi desenhado a partir dos dados obtidos durante um ensaio de tração de uma barra de aço estrutural com 16   m m de diâmetro. Sabendo-se que a deformação foi tomada usando um comprimento de medição igual a 460   m m , determinar por meio aproximado:

  1. o módulo de resiliência da liga;
  2. o módulo de tenacidade da liga.

Passo 1

Oier! Prontos para se aventurar em mais uma questão de método de energia?

O exercício quer que a gente calcule o valor módulo de resliliência u e e do módulo de tenacidade de uma barra de aço. O módulo de resiliência u e de qualquer material é igual à área embaixo da reta O Y de um diagrama tensão-deformação σ - ε . Já o módulo de tenacidade é toda a área sob a curva do diagrama tensão-deformação σ - ε .

σ e é a tensão de escoamento do material. ε 1 , ε 2 e ε 3 são as taxa deformação da barra de aço nos pontos 1, 2 e 3 respectivamente. σ 1 , σ 2 e σ 3 são as tensões sobre a barra nos pontos 1, 2 e 3. A 1 , A 2 e A 3 são as áreas do trapézios usados para estimar o módulo de tenacidade.

u e e o módulo de tenacidade são essas áreas do diagrama tensão-deformação.

Mas então como calcularemos eles dois, se o enunciado da questão só nos deu o diagrama carga-deformação?

Refazendo a pergunta: nós temos um diagrama com a força (também chamada de carga P ) sobre a barra e a deformação δ , mas queremos calcular a tensão σ sobre a barra e a sua taxa de deformação ε . Como fazemos isso?

Através das fórmulas abaixo!

L é o comprimento da barra que vale 460   m m segundo o enunciado.

A é a área da seção transversal da barra que pode ser calculada através do diâmetro D da barra. Atenção! Não confunda essa área A com as área A 1 , A 2 e A 3 dos trapézios!

A = π D 2 4       ⟹       A = π × 16 2 4       ⟹       A = 201   m m 2

A carga P pode ser encontrada através do diagrama carga-deformação do enunciado!

Então bora calcular as tensões σ e as taxas de deformação ε no próximo passo.

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular as tensões σ e as taxas de deformação ε necessárias para a gente achar u e e o módulo de tenacidade.

Para encontrarmos os valores de carga P e deformação δ que precisamos, precisamos olhar o gráfico de carga-deformação.

δ e é a deformação da barra, quando ele começa a escoar. δ 1 , δ 2 e δ 3 são as deformações da barra nos pontos 1, 2 e 3. P e é a carga que faz a barra começar a escoar. P 1 , P 2 e P 3 são as cargas da barra nos pontos 1, 2 e 3.

Pra converter essas cargas P e essas deformações δ , usamos as fórmulas de σ e ε .

Quando usamos a carga em k N e a área em m m 2 , achamos as tensões em G P a .

σ = P A       ⟹       σ e = P e A       ⟹       σ e = 53 201       ⟹       σ e = 0,264   G P a       ⟹       σ e = 264   M P a

σ = P A       ⟹       σ 1 = P 1 A       ⟹       σ 1 = 53 201       ⟹       σ 1 = 0,264   G P a       ⟹       σ 1 = 264   M P a

σ = P A       ⟹       σ 2 = P 2 A       ⟹       σ 2 = 80 201       ⟹       σ 2 = 0,398   G P a       ⟹       σ 2 = 398   M P a  

σ = P A       ⟹       σ 3 = P 3 A       ⟹       σ 3 = 75 201       ⟹       σ 3 = 0,373   G P a       ⟹       σ 3 = 373   M P a

ε = δ L       ⟹       ε e = δ e L       ⟹       ε e = 0,635 460       ⟹       ε e = 0,00138

ε = δ L       ⟹       ε 1 = δ 1 L       ⟹       ε 1 = 9,15 460       ⟹       ε 1 = 0,01989

ε = δ L       ⟹       ε 2 = δ 2 L       ⟹       ε 2 = 80 460       ⟹       ε 2 = 0,17391

ε = δ L       ⟹       ε 3 = δ 3 L       ⟹       ε 3 = 100 460       ⟹       ε 3 = 0,21739

Com esses valores de σ e e ε e poderemos enfim calcular o módulo de resiliência u e no passo seguinte!

Passo 3

Nesse passo, resolveremos a letra (a)! Para calcular u e , precisamos saber quanto vale a tensão de escoamento σ e da liga, porque σ e é a altura h do triângulo que forma a área sob a reta O Y ! A base desse triângulo é igual a ε e = 0,00138 .

A figura abaixo mostra a área exagerada do triângulo que fica abaixo de O Y .

Antes de utilizar σ e , temos que converter essa tensão de M P a para P a , multiplicando a tensão por 10 6 .

σ e = 264   M P a = 264 × 10 6   P a

Substituindo esses valores na fórmula de u e presente no gráfico, achamos:

u e = ε e × σ e 2       ⟹       u e = 0,00138 × 264 × 10 6 2       ⟹       u e = 182,16 × 10 3   J m 3

Podemos converter esse resultado de J / m 3 para k J / m 3 , dividindo u e por 10 3 .

u e ≈ 182   k J m 3

Aeee! Achamos a resposta da letra (a)! No próximo passo a gente pode calcular o módulo de tenacidade.

Passo 4

Nesse passo, resolveremos a letra (b) da questão!

O módulo de tenacidade é toda a área sob a curva do diagrama tensão-deformação. Ou seja, para achar esse valor, temos que achar as áreas A 1 , A 2 e A 3 dos trapézios. A fórmula da área do trapézio é base maior B mais base menor b , vezes altura do trapézio h dividido por 2 .

A 1 = B 1 + b 1 × h 1 2

A 2 = B 2 + b 2 × h 2 2

A 3 = B 3 + b 3 × h 3 2

No caso do trapézio, a altura h não são valores de tensão σ , mas sim diferenças entre valores de deformação Δ ε . As tensões σ são as bases B e b . Esses valores de tensão que representam as bases B e b do trapézio são aproximações encontradas a partir do gráfico.

Isso fica mais claro olhando para a figura abaixo.

Antes de utilizar as informações da figura, temos que converter as tensões σ 1 de M P a para P a , multiplicando a tensão por 10 6 .

σ 1 = 264   M P a = 264 × 10 6   P a

σ 2 = 398   M P a = 398 × 10 6   P a

σ 3 = 373   M P a = 373 × 10 6   P a

Agora sim, usando as informações presentes na figura, achamos:

A 1 = σ e + σ 1 × Δ ε 1 2       ⟹       A 1 = 264 + 264 × 10 6 × 0,01851 2

A 1 = 4,89 × 10 6   J m 3

A 2 = σ 1 + σ 2 × Δ ε 2 2       ⟹       A 2 = 264 + 398 × 10 6 × 0,15402 2

A 2 = 51,0 × 10 6   J m 3

A 3 = σ 2 + σ 3 × Δ ε 3 2       ⟹       A 3 = 398 + 373 × 10 6 × 0,04348 2

A 3 = 16,8 × 10 6   J m 3

Cuidado! O valor de u e que devemos colocar na fórmula do módulo de tenacidade deve estar em J / m 3 !

Como o módulo de tenacidade é a soma de todas as áreas, encontramos:

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = u e + A 1 + A 2 + A 3

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = 182,16 × 10 3 + 4,89 × 10 6 + 51,0 × 10 6 + 16,8 × 10 6

m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e ≈ 72,9 × 10 6   J m 3

Resposta

a   u e = 182   k J m 3

b   m ó d u l o   d e   t e n a c i d a d e = 72,9 × 10 6   J m 3

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