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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 196

Usando a equação 4.66, desenvolva a expressão para R, da figura abaixo, para uma seção transversal trapezoidal.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos a figura e dizermos qual deveria ser o raio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a fórmula do R.

R = ∑ A ∑ ∫ 1 r d A = A ∫ 1 r d A

Agora vamos determinar as variáveis para cada uma das bases:

w = c 0 + c 1 r

w = b 1   →     r = r 1

w = b 2     →       r = r 2

b 1 - b 2 =   - c 1 h

c 1 =   - b 1 - b 2 h

c 0 = r 2 b 1 - r 1 b 2 h

A = b 1 + b 2 h 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

∫ 1 r d A = ∫ c 0 + c 1 r r   d r

∫ 1 r d A = r 2 b 1 - r 1 b 2 h ln ⁡ r 2 r 1 - b 1 - b 2

Substituindo os valores lá na nossa primeira equação, vamos chegar a:

R = 1 2   h 2 b 1 + b 2 r 2 b 1 - r 1 b 2 ln ⁡ r 2 r 1 - h b 1 - b 2

Resposta

R = 1 2   h 2 b 1 + b 2 r 2 b 1 - r 1 b 2 ln ⁡ r 2 r 1 - h b 1 - b 2

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