Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 85
Usando o método do trabalho e energia, determinar a declividade no ponto , provocada pelo momento .
Passo 1
Oi, pessoal! Como vão? Partiu fazer um exercício de cálculo de declividade através do método de energia?
Essa questão mostra uma viga sendo carregada com um momento . Esse momento faz a barra absorver uma energia e se deformar. O enunciado pede que a gente ache a declividade no ponto da viga (inclinação da viga no ponto ), usando duas equações de . A primeira, calcula a partir do momento fletor .
A segunda equação, calcula por meio de uma integral do momento fletor da viga. No entanto, o valor de da viga (módulo de elasticidade multiplicado por momento de inércia ) varia ao longo da barra. Esse termo vale de até e vale de até . Por isso, precisamos dividir a integral em duas como mostrado abaixo.
Igualando essas duas equações de , achamos .
Olhando para a figura, é a força de reação causada pela restrição no ponto e é a força de reação causada pela restrição no ponto . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de momento. No entanto, apenas uma delas é suficiente para a gente achar o momento fletor . No próximo passo, calcularemos uma das duas forças então!
Passo 2
Como vamos calcular o momento fletor fazendo o equilíbrio da parte esquerda da barra, temos que conhecer apenas ! Para achar sem precisar achar , podemos calcular através da equação de equilíbrio de momento no ponto . Como a força não tem braço de alavanca em , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em .
Como a força e o momento fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de e de .
Agora estamos aptos a achar !
Passo 3
Para achar precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto . O momento tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui o momento e outro quando a parte esquerda inclui o momento . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de .
Novamente precisamos lembrar que, como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .
Agora vamos calcular o segundo valor de .
Novamente precisamos lembrar que, como a força e o momento fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de e de .
Substuindo na equação:
Com esses valores de , podemos achar !
Passo 4
tem dois valores. Um quando vale entre e e outro, quando vale entre e .
Por isso, na integral que calcula , usaremos o primeiro valor de na integral que vai de a e usaremos o segundo valor de na integral que vai de a .
Colocando as constantes para fora da integral, achamos:
Substituindo essa equação de na primeira equação de do passo 1, achamos:
Até que enfim encontramos o que a questão queria! Show!