Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 84

Usando o método do trabalho e energia, determinar a deflexão em , provocada pela carga .

Passo 1

Oi, galera bonita! Tudo bem? Vamos fazer um exercício de deflexão através do método de energia?

Essa questão mostra uma viga sendo carregada com uma força . Essa força faz a barra absorver uma energia e se deformar. O enunciado pede que a gente ache a deflexão no ponto da viga, usando duas equações de . A primeira, calcula a partir da força .

A segunda equação, calcula por meio de uma integral do momento fletor da viga.

No entanto, o valor de da viga (módulo de elasticidade multiplicado por momento de inércia ) varia ao longo da barra. Esse termo vale de até e de até e vale de até . Por isso, precisamos dividir a integral em três como mostrado na figura abaixo.

Igualando essas duas equações de , achamos .

é a força de reação causada pela restrição no ponto e é a força de reação causada pela restrição no ponto . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de forças em . No próximo passo, calcularemos essas duas forças!

Passo 2

Para achar e através do equilíbrio de forças em , precisamos notar que essa barra é simétrica! Isso significa que a força de reação da ponta esquerda da barra e a força de reação da ponta direita da barra são iguais!

Como a força da barra está para baixo, ela ganha um sinal de menos na equação de equilíbrio em .

Como é igual a :

Agora estamos aptos a achar !

Passo 3

Para achar precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto . O momento tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força e outro quando a parte esquerda inclui a força . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de .

Como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .

Agora vamos calcular o segundo valor de .

De novo precisamos observar que, como a força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de .

Substiuindo o valor de :

Com esses valores de , podemos achar !

Passo 4

tem dois valores. Um quando vale entre e e outro, quando vale entre e .

Por isso, para substituir na integral que calcula entre e , precisamos separar a integral dessa faixa em duas. Uma que vai de a para o primeiro valor de e outra que vai de a para o segundo valor de .