Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 138a
Uma viga em balanço é de altura constante e de largura variável. Sabendo-se que a viga deve ser de resistência constante, expressar em termos de e , se o único carregamento é: (a) uma força vertical em ; (b) uma carga distribuída uniformemente ao longo da linha .
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Para resolver esse problema a gente vai ter que achar uma o nosso como uma função de . Para isso a gente vai ter que utilizar principalmente aquela nossa equação da tensão admissível.
Então a gente tem que basicamente achar o momento fletor dessa viga e o módulo de resistência dela.
vamos fazer isso para duas situações, um ponto qualquer e um ponto específico daí é só comparar os dois resultados, então partiu?
Passo 2
Primeiro vamos observar a seção desta viga, que é retangular:
Tranquilo né? Mas mesmo sendo tranquilo é muito importante entender que a seção sempre será um retângulo, a única coisa que vai mudar é a base.
Então vamos calcular o módulo resistente da seção , que é dado pelo momento de inércia dividido pela maior distância que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.
Como temos um retângulo o momento de inércia é dado por:
e, como a linha neutra se localiza no centro do retângulo, a distância é igual a:
Substituindo no módulo resistente:
Show de bola!
Passo 3
Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Para isso que tal fazermos um desenho simplificado dessa viga?
Uma viga em balanço é uma viga engastada e, apesar de mal formulado, o problema da a entender que o engaste é em . Além disso já podemos perceber que a força é nula porque é a única força em . Agora vamos partir para o omatório das forças em :
Agora o somatório dos momentos:
Galera, como a viga está engastada e momento fletor máximo será igual ao prório momento puro do engaste , assim:
obs: O sinal não faz muita diferença, o importante aqui é o módulo!
Mas a gente precisa também da distribuição do momento fletor que será dada por:
Passo 4
Estamos quase no fim! UHULLLLL
Agora chegamos no ponto mais importante desta questão que é aplicar o momento fletor em conjunto com o nosso módulo resistente e comparar com a tensão admissível da seguinte forma:
Lembrando que:
e
obs: Precisamos apenas do módulo =D
Vamos substituir os valores que calculamos:
Simplificando:
Essa valor que achamos é para qualquer ponto da nossa viga, logo, deve valer também para , porque? Porque é onde o momento fletor máximo se localiza! Assim, ficará da seguinte forma:
Substituindo em..
Vamos obter:
Simplificando:
Passo 5
Viram que temos duas equações com ? Então agora é só igualar as duas:
E
Igualando:
Simplificando:
Resposta
a)