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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 136

A viga em balanço mostrada consiste em um perfil em forma de “Z”, de espessura uniforme. Para o carregamento mostrado, determinar a distribuição de tensões de cisalhamento na perna vertical DE. Os eixos x’ e y’ são centroidais e principais da seção transversal.

Passo 1

A única coisa que temos desse enunciado é que β = 67,5 ° , já que temos que x ' faz 22,5 ° com o eixo x. 90 - 22,5 = 67,5 .

Vamos ter então que

V x = V s e n β

V y = V c o s β

Passo 2

Calculando a área e encontrando x -   e   y -

A = t a + x = t a + t x

x - = 1 2 x - a = x 2 - a 2

y - = a

Teremos ainda

x ' = x c o s β + y s e n β

y ' = y c o s β - x s e n β

Passo 3

Com isso em mãos podemos começar a calcular as tensões de cisalhamento

Primeiro em relação a V x '

τ 1 = V x ' A   x - I y ' t  

τ 1 = V s e n β ( t a + t x ) x 2 - a 2 c o s β + a s e n β 3,08 a 3 t    

τ 1 = V s e n β t a + t x x c o s β 2 - a c o s β 2 + a s e n β 3,08 a 3 t

τ 1 = V s e n β a x c o s β 2 - a 2 cos ⁡ β 2 + a 2 s e n β + x 2 c o s β 2 - a x c o s β 2 + a x s e n β 3,08 a 3

τ 1 = V s e n β - a 2 cos ⁡ β 2 + a 2 s e n β + x 2 c o s β 2 + a x s e n β 3,08 a 3

τ 1 = V 0,92 a 2 0,92 + x 2 0,38 - a 2   2 0,38 + a x 0,92 + x 2 0,38 2 - x a 0,38 2 3,08 a 3

τ 1 = V a 2 0,8464 + 0,1748 x - a 2 0,1748 + a x 0,8464 + x 2 0,1748 - x a 0,1748 3,08 a 3

τ 1 = V 0,6716 a 2 + 0,1748 x + a x 1,0212 + x 2 0,1748 3,08 a 3

Passo 4

Fazemos o mesmo agora, mas em relação a V y '

τ 2 = V y ' A y - I x ' t  

τ 2 = V c o s β ( t a + t x ) a c o s β + x 2 - a 2 s e n β 0,2521 a 3 t    

τ 2 = V c o s β ( t a + t x ) a c o s β + x s e n β 2 - a s e n β 2 0,2521 a 3 t

τ 2 = V c o s β t a 2 c o s β + t x 2 s e n β - t a 2 2 s e n β + t a x c o s β + t x 2 s e n β 2 - t x a s e n β 2 0,2521 a 3 t

τ 2 = V c o s β a 2 c o s β + x 2 s e n β - a 2   2 s e n β + a x c o s β + x 2 s e n β 2 - x a s e n β 2 0,2521 a 3

τ 2 = V 0,38 - a 2 0,92 2 + a 2 0,38 + x 2 0,92 2 + a x 0,38 0,2521 a 3

τ 2 = V - 0,1748 a 2 + 0,144 a 2 + 0,1748 x 2 + 0,144 a x 0,2521 a 3

τ 2 = V - 0,0308 a 2 + 0,1748 x 2 + 0,144 a x 0,2521 a 3

Para finalizar, a tensão total será dada por

τ t = τ 1 + τ 2 = V 0,6716 a 2 + 0,1748 x + a x 1,0212 + x 2 0,1748 3,08 a 3 + V - 0,0308 a 2 + 0,1748 x 2 + 0,144 a x 0,2521 a 3

Resposta

V 0,6716 a 2 + 0,1748 x + a x 1,0212 + x 2 0,1748 3,08 a 3 + V - 0,0308 a 2 + 0,1748 x 2 + 0,144 a x 0,2521 a 3

Ver Outros Exercícios desse livro

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Uma viga de parede fina com espessura uniforme tem a seção transversal mostrada. Determinar a dimensão b , para que o centro de cisalhamento da viga esteja localizado no ponto indicado.
Determinar a localização do centro de cisalhamento O de uma viga de parede fina de espessura uniforme e com a seção transversal mostrada.
Para a viga em balanço e o carregamento dado, usando os resultados do prob. 5.128 verificar que os pontos onde a tensão de cisalhamento é máxima estão localizados sobre a correspondente linha neutra.
Para a viga e carregamento do P r o b . 5.34 , determinar:A distância d para que τ a = τ b ;
Para a viga e carregamento do P r o b . 5.34 , determinar:A correspondente tensão nos pontos A e B;