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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 35a

Para a viga e carregamento do P r o b . 5.34 , determinar:

A distância d para que τ a = τ b ;

Passo 1

Precisamos igualar as tensões nos pontos “a” e “b” e para isso teremos que:

τ = V Q I b

Em que:

V = c o r t a n t e   a g i n d o   n a   s e ç ã o  

Q = m o m e n t o   e s t á t i c o  

I = m o m e n t o   d e   i n é r c i a  

b = e s p e s s u r a   d a   r e g i ã o   q u e   d e s e j a   s e   s a b e r   a   t e n s ã o  

Para esses dados sabemos que:

V = 25   k N = 25000   N

b a = 8   m m

b b = 72   m m

Agora precisamos determinar o momento estático e o momento de inércia, para isso temos um passo a passo.

Passo 2

Vamos determinar primeiro o momento de inércia, para isso precisamos determinar algumas coisas, para isso temos que fazer o seguinte passo a passo.

  • Primeiro determinamos uma divisão em seções mais simples

  • Em segundo determinamos as áreas da nossa seção

  • Em terceiro determinamos a distância dos centroides dos elementos até a LN, e como a seção é simétrica, está no centro da seção total, sendo assim teremos que:

  • Em quarto precisamos determinar os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples:

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = 2 ( I 1 + A 1 d 1 2 ) + I 2 + A 2 d 2 2

    I = 2 72 + 2 d 8 3 12 + 576 + 2 d   .     56 2 + 6749184 + 7488   .     0 2

    I = 2 3072 + 85,3 d + 1806336 + 6272 d + 6749184

    I = 12714,6 d + 3618816 + 6749184

    I = 12714,6 d + 3618816 + 6749184

    I = 12714,6 d + 10368000

    Passo 3

    Para o momento estático precisamos determinar os seguintes dados:

  1. Ponto a
  2. Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

  3. Distância do centroide da área até a LN

    4. agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A a y a = 8 d   .   56 = 448 d   m m 3

  4. Ponto b
  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

  • Distância do centroide da área até a LN

    • agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 + A 2 y 2 = 576 + 16 d 56 + 3744   .   26 = 32256 + 896 d + 97344 = 129600 + 896 d

    Agora precisamos garantir que cada tensão será igual a outra, com isso as nossas tensões podem ser vistas como:

  • Tensão em A

    • τ = V Q I b = 25000   .   448 d     ( 12714,6 d + 10368000 )     .     8

  • Tensão em B

    • τ = V Q I b = 25000   .   ( 129600 + 896 d )   ( 12714,6 d + 10368000 )     .     72

    Igualando as duas, teremos que:

    25000   .   448 d     ( 12714,6 d + 10368000 )     .     8 = 25000   .   ( 129600 + 896 d )   ( 12714,6 d + 10368000 )     .     72

      448 d     8 = ( 129600 + 896 d )   72

    4032 d = 129600 + 896 d

    3136 d = 129600

    d = 41,3   m m

    Resposta

    d = 41,3   m m

    Ver Outros Exercícios desse livro

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