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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 82

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a declividade em A ; (b) a deflexão em C .   Usar E = 12   G P a .

Passo 1

Fala aí galera, bora estudar resmat. Primeiramente, nesta questão, devemos calcular as reações de apoio. Sabemos que:

∑ M A = 0 → 2,5 × 2 × 1,6 + 3 × 3,2 = F E × 3,8

F D = 4,63   k N

∑ F y = 0 → 2,5 × 2 + 3 = F A + F E

F A = 3,37   k N

Logo, a equação do momento em função de x pode ser calculada. Iremos caminhar pela estrutura acrescentando as parcelas dos momentos causados pelos esforços. Fazendo isso, a equação do momento será:

M x = F A x - 2,5 2 < x - 0,6 > 2 + 2,5 2 < x - 2,6 > 2 - 3 < x - 3,2 >

M x = 3,37 x - 2,5 2 < x - 0,6 > 2 + 2,5 2 < x - 2,6 > 2 - 3 < x - 3,2 >

A equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

Portanto, ela será:

d y 2 d 2 x = 3 , 37 x - 2,5 2 < x - 0,6 > 2 + 2,5 2 < x - 2,6 > 2 - 3 < x - 3,2 > E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade em função de x . Logo:

E I   θ = 3,37 x 2 2 - 2,5 6 < x - 0,6 > 3 + 2,5 6 < x - 2,6 > 3 - 3 2 < x - 3,2 > ² + C 1

Para determinar a constante de integração C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que:

θ 0 = - θ 3,8

A estrutura possui uma rotação em um sentido em A   e em E   ela gira o mesmo valor no sentido oposto.

Logo, substituindo:

θ 0 = C 1

θ 3,8 = 24,33 - 13,65 + 0,72 - 0,54 + C 1 = 10,86 + C 1

θ 0 = - θ 1,2

C 1 = - 10,86 - C 1

C 1 = - 5,43

Portanto:

E I   θ = 3,37 x 2 2 - 2,5 6 < x - 0,6 > 3 + 2,5 6 < x - 2,6 > 3 - 3 2 < x - 3,2 > 2 - 5,43

Agora, iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = 3,37 x 3 6 - 2,5 24 < x - 0,6 > 4 + 2,5 24 < x - 2,6 > 4 - 3 6 < x - 3,2 > 3 - 5,43 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 0 = 0

Pois, no apoio não há deflexão. Portanto:

C 2 = 0

Logo, a deflexão será:

E I   y = 3,37 x 3 6 - 2,5 24 < x - 0,6 > 4 + 2,5 24 < x - 2,6 > 4 - 3 6 < x - 3,2 > 3 - 5,43 x

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos substituindo a posição dos pontos nas funções encontradas. Para a letra a:

E I   θ 0 = - 5,43

  θ 0 = - 5,43 1,12 × 10 - 7 × 12 × 10 9 = 4,04 × 10 - 3   r a d

Portanto, esta é a declividade em A .

Passo 4

Agora, fazendo o mesmo para a letra b:

E I   y 2 , 6 = 8,2

y 2,6 = 8,2 1,12 × 10 - 7 × 12 × 10 9 = 6,1 × 10 - 3   m

E pronto! Está finalizada a questão.

Resposta

  1. θ 0 = 4,04 × 10 - 3   r a d
  2. y 2,6 = 6,1 × 10 - 3   m
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Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto médio em C ; ( b ) a declividade na extremidade A .
Para a viga com carregamento mostrado, determinar: ( a ) a deflexão no ponto médio em C ; ( b ) a declividade na extremidade A .
Três barras rígidas são soldadas à barra de aço A D , como mostrado. Para o carregamento indicado, determinar a deflexão: (a) no ponto B ; (b) no ponto C . Usar E = 200G P a .
A barra rígida B D E é soldada ao ponto B da viga constituída do perfil laminado de aço A C . Para o carregamento mostrado, determinar: (a) a declividade no ponto B ; (b) a deflexão no ponto B . Usar