Enunciado

Um anel de latão de 130 m m de diâmetro externo e espessura de 6 m m se encaixa perfeitamente dentro de um outro aço de 130 m m de diâmetro interno e espessura de 3 m m , quando a temperatura de ambos os anéis é de 10 ° C . Sabendo-se que a temperatura de ambos os anéis é então aumentada para 50 ° C , determinar:

  1. A tensão normal de tração no anel de aço;
  2. A correspondente pressão exercida pelo anel de latão sobre o anel de aço.

Passo 1

Fala galerinha, essa questão pode parecer mega complexa, mas vamos ver que ela é bem tranquila e não precisamos ficar preocupados. O que precisamos ver é que usaremos 3 conceitos que já vimos, e que vamos relembrar eles aqui.

Basicamente temos dois anéis cilíndricos, que estão unidos, e com uma variação de temperatura vão ter que variar de tamanho, além dos mais, é exatamente essa variação que vai gerar a tensão, então podemos dizer o seguinte, entre os anéis de aço e latão existe uma pressão P de contato, que pode ser definida como:

  • O latão empurra o aço para fora, logo o sinal de P para o aço é positivo
  • O aço, por reação, empurra o latão para dentro, logo a pressão de contato para o latão será dada por - P .

E como já vimos, a tensão em tubos cilíndricos é dada por:

σ = P r t

Em que:

P = p r e s s ã o   d e   c o n t a t o

r = r a i o   d e   c o n t a t o   e n t r e   o s   a n é i s

t = e s p e s s u r a   c o r r e p s o n d e n t e   d e   c a d a   a n e l

Assim podemos dizer que a tensão de contato em cada anel é dada por:

σ A ç o = P r t A ç o

σ L a t ã o = - P r t L a t ã o

Passo 2

Agora pensa no seguinte, se temos uma tensão e sabemos que ao anéis vão deformar, vamos precisar dessas deformações, que nesse exemplo se dividem em dois casos, que são as deformações especificas causadas pelas tensões, e as deformações especificas causadas pela temperatura, e assim basta lembrarmos que essas fórmulas são dadas por:

ε P = σ E   ( d e f o r m a ç ã o   e s p e c í f i c a   d e v i d o   a   t e n s ã o )

ε T = α ∆ t   ( d e f o r m a ç ã o   e s p e c í f i c a   d e v i d o   a   t e m p e r a t u r a )

Assim temos que a deformação especifica para cada um dos anéis é dada por:

  • Anel de aço
  • ε A ç o P = σ A ç o E A ç o = P r E A ç o t A ç o

    ε A ç o T = α A ç o ∆ t

    Assim a deformação especifica total do anel de aço é dada por:

    ε A ç o = P r E A ç o t A ç o + α A ç o ∆ t

  • Anel de Latão

ε L a t ã o P = σ L a t ã o E L a t ã o = - P r E L a t ã o t L a t ã o

ε L a t ã o T = α L a t ã o ∆ t

Assim a deformação especifica total do anel de aço é dada por:

ε L a t ã o = - P r E L a t ã o t L a t ã o + α L a t ã o ∆ t

E pensa no seguinte, isso que calculamos foi a DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA, mas sabemos que o que tem que ser igual entre os dois anéis é a VARIAÇÃO DA DEFORMAÇÃO TOTAL, ou seja, basta ,multiplicarmos o comprimento inicial de cada anel pela deformação especifica de cada anel, assim, temos que:

∆ L A ç o = 2 π r ε A ç o

∆ L l a t ã o   = 2 π r ε L a t ã o

Assim estamos nos encaminhando para o fim do nosso problema, então aguenta mais um pouco para podermos fechar o nosso problema tranquilo.

Passo 3

Agora para fecharmos o nosso problema, sabemos que os anéis estão unidos, por isso eles farão pressão um sobre o outro, e por isso, podemos igualar as variações de deformações entre eles, com isso, teremos que:

2 π r ε A ç o = 2 π r ε L a t ã o

ε A ç o = ε L a t ã o

Substituindo as nossas deformações especificas, teremos que:

P r E A ç o t A ç o + α A ç o ∆ t = - P r E L a t ã o t L a t ã o + α L a t ã o ∆ t

P r E A ç o t A ç o + P r E L a t ã o t L a t ã o = α L a t ã o ∆ t - α A ç o ∆ t

P r 1 E A ç o t A ç o + 1 E L a t ã o t L a t ã o = ( α L a t ã o - α A ç o ) ∆ t

Como nosso objetivo é determinar a carga de contato entre os anéis, teremos que:

P = α L a t ã o - α A ç o ∆ t r 1 E A ç o t A ç o + 1 E L a t ã o t L a t ã o

Agora só falta os dados para podermos substituir.

Passo 4

Sabemos pelo enunciado que:

α L a t ã o = 20,9 × 10 - 6 1 C °

α A ç o = 11,7 × 10 - 6 1 C °

r = D 2 = 130 2 = 65   m m

∆ t = 50 ° - 10 ° = 40 °

E A ç o = 200   G P a = 200000   M P a = 200000 N m m 2

E L a t ã o = 103   G P a = 103000   M P a = 103000 N m m 2

t A ç o = 3 m m

t L a t ã o = 6 m m

Substituindo teremos que:

P = 20,9 × 10 - 6 - 11,7 × 10 - 6 1 C ° 40 ° [ C ° ] 65   [ m m ] 1 200000 N m m 2 3 [ m m ] + 1 103000 N m m 2 6 [ m m ]

P = 1,72 N m m 2 = 1,72   M P a

Então já sabemos a pressão que o anel de latão exerce sobre o anel de aço, e assim resolvemos o item b).

Para o item a) só precisamos lembrar que a nossa fórmula de tensão de tração no aço é dado pela seguinte equação:

σ A ç o = P r t A ç o = 1,72 N m m 2 65   [ m m ] 3   [ m m ] = 37,3   M P a

Resposta

  1. σ A ç o = 37,3   M P a
  2. P = 1,72   M P a
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Três barras de aço ( E = 29x10 6p s i ) suportam uma carga P de 8,5 - k i p . Cada uma das barras AB e CD tem uma área de seção transversal de 0,32 - i n ² ², e a barra EF tem uma área de seção transv
A barra rígida AD é suportada por dois cabos de aço com 1/16 in. de diâmetro ( E = 29x10 6p s i ) e por um pino e um suporte em D. Sabendo que os cabos foram inicialmente tensionados, determine (a) a
Resolva o Problema 2.41 supondo que a barra AC é feita de latão e a barra CE é feita de aço.
Cada uma das hastes BD e CE é feita de latão ( E = 105G P a ) e tem área de seção transversal de 200mm². Determine a deflexão da extremidade A do elemento rígido ABC provocada pela ação de 2 kN.
Duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de latão, são unidas em C e contidas por apoios rígidos em A e E. para o carregamento indicado na figura e sabendo que E a ç o = 200G P aeE l a t ã o = 105G