Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A declividade no ponto A

Passo 1

Então galera, até aqui vimos casos de vigas simétricas, e esse caso pode acabar nos dando um medinho, mas pode ficar tranquilo, porque todas as premissas continuam iguais, a diferença está em como vamos usar ela, e para isso, sabemos de cara que precisamos das nossas reações de apoio, com isso, temos que:

∑ M D = 0

- V A 3,0 + 65 × 2,4 + 65 × 1,5 - 20 × 1,2 = 0

- V A 3,0 + 229,5 = 0

V A = 76,5   k N

∑ F V = 0

76,5 + V D - 65 - 65 - 20 = 0

V D = 73,5   k N

Podemos usar um macete, vamos descartar o nosso apoio em A, e vamos supor que em D temos um engaste, e o macete vai ser desenhar o diagrama de cada carregamento separado, assim vamos ter:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , e assim teremos que:

Passo 2

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de D com relação a A da seguinte maneira:

θ D / A = θ D - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ D - θ D / A

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

L θ A = L θ D - L θ D / A

L θ A = y D - y D / A

E sabemos que a deformação em D é zero, assim temos que:

θ A = - y D / A L

E para determinarmos a deformação y D / A precisamos de todas as áreas entre A e D e das distâncias desses centroides ATÉ D, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito D / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = - 229,5 E I × 3 × 1 2 = - 344,25 E I

A 2 = 97,5 E I × 1,5 × 1 2 = 73,125 E I

A 3 = 156 E I × 2,4 × 1 2 = 187,2 E I

A 4 = 24 E I × 1,2 × 1 2 = 14,4 E I

E além das áreas precisamos da distancia de cada centroide até o nosso ponto D, assim teremos que:

Assim podemos definir que os dados que devemos usar estão entre A e D:

y D / A = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3

y D / A = - 344,25 E I × 1,0 + 73,125 E I × 0,5 + 187,2 E I × 0,8 = - 157,93 E I  

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ A = - y D A L = - - 157,93 E I 3,0 = 52,64 E I

E = 200   G P a = 200 × 10 6   k N / m 2

I = 84,9 × 10 6   m m 4 = 8,49 × 10 - 5   m 4

E I = 16980   k N m 2

θ A = 52,64 16980 = 3,10 × 10 - 3   r a d

Resposta

θ A = 3 , 10 × 10 - 3   r a d

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