Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 30
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:
- O valor de P para que a deflexão seja zero no ponto médio C da viga;
- A variação dos valores de , para que o valor absoluto da deflexão no ponto médio C da viga seja igual ou menor que.
Passo 1
E ai galera, até agora resolvemos apenas problemas com engastes, mas agora iremos começar a resolver problemas biapoiados, os conceitos vão se manter iguais aos que já conhecíamos, mas agora vamos ter que tomar um cuidado importante com o nosso diagrama de momentos fletores, então é de suma importância que fiquemos atento a ele, e por isso, vamos começar por ele, calculando primeiro a reação de apoio da nossa viga, teremos que:
E por fim tem uma coisa bem legal de se notar, a nossa viga é simétrica com cargas simétricas, certo? Então não precisamos desenhar o diagrama inteiro da viga, podemos desenhar só metade do nosso diagrama, e analisando o que temos até aqui, vamos ver que é exatamente isso aqui:
Assim o nosso diagrama de momentos fletores calculando um diagrama para cada carregamento será dado por:
Porém, nesse caos em balanço iremos desconsiderar o carregamento em balanço na viga que só tem a reação de apoio, com isso, precisamso fazer , assim a nossa viga com seus respectivos diagramas, será dada por:
E por fim, temos que dividir o nosso diagrama pelo nosso , assim, teremos que:
Passo 2
Agora precisamos determinar a deformação em dois pontos, um sendo a deformação no centro da nossa viga, e essa deformação já conhecemos a maneira de calcular ela, basta pegarmos as áreas entre o apoio e o centro e multiplicarmos a distância do centroide de cada área até o apoio, respeitando, é claro, os sinais que vimos no passo anterior, ou seja, estamos fazendo a deformação de B com relação a C, certo? Então podemos definir . Dessa maneira, teremos que:
Perceba que somente as áreas 1 e 3 contribuem, dessa maneira, teremos que:
Como B é o apoio, temos que:
E sabemos pelo enunciado que queremos que a deformação do ponto C seja zero no item A), assim temos que:
E para o item B) é pedido para que o mesmo ponto C tenha deformação igual ou menor que , assim temos que:
Onde sabemos que pelo enunciado, e que o momento de inércia para a seção é dado por , assim temos que a relação EI, é dada por:
Substituindo, teremos que: