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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 31

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. O valor de P para que a deflexão seja zero na extremidade A da viga;
  2. A variação dos valores de P , para que o valor absoluto da deflexão na extremidade A da viga seja igual ou menor que 2,5 m m .

U s a r   E = 200 G P a .

Passo 1

E ai galera, até agora resolvemos apenas problemas com engastes, mas agora iremos começar a resolver problemas biapoiados, os conceitos vão se manter iguais aos que já conhecíamos, mas agora vamos ter que tomar um cuidado importante com o nosso diagrama de momentos fletores, então é de suma importância que fiquemos atento a ele, e por isso, vamos começar por ele, calculando primeiro a reação de apoio da nossa viga, teremos que:

∑ M E = 0

- 2,4 V D + P × 2,7 + 35 × 1,2 - P × 0,3 = 0

2,4 P + 42 = 2,4 V D

V D = P + 17,5

E por fim tem uma coisa bem legal de se notar, a nossa viga é simétrica com cargas simétricas, certo? Então não precisamos desenhar o diagrama inteiro da viga, podemos desenhar só metade do nosso diagrama, e analisando o que temos até aqui, vamos ver que é exatamente isso aqui:

Assim o nosso diagrama de momentos fletores calculando um diagrama para cada carregamento será dado por:

Porém, nesse caos em balanço iremos desconsiderar o carregamento em balanço na viga que só tem a reação de apoio, com isso, precisamso fazer P + 17,5 - P = 17,5 , assim a nossa viga com seus respectivos diagramas, será dada por:

E por fim, temos que dividir o nosso diagrama pelo nosso E I , assim, teremos que:

Passo 2

Agora precisamos determinar a deformação em dois pontos, um sendo a deformação no centro da nossa viga, e essa deformação já conhecemos a maneira de calcular ela, basta pegarmos as áreas entre o apoio e o centro e multiplicarmos a distância do centroide de cada área até o apoio, respeitando, é claro, os sinais que vimos no passo anterior, ou seja, estamos fazendo a deformação de B com relação a C, certo? Então podemos definir y B / C . Dessa maneira, teremos que:

Perceba que somente as áreas 1 e 3 contribuem, dessa maneira, teremos que:

y B / C = y B - y C

Como B é o apoio, temos que:

y B / C = - y C = - y 1 A 1 + y 2 A 2

y B / C = - y C = - 0,8 21 E I + 0,6 0,36 P E I

Vamos guardar essa equação por enquanto, porque lembre que nosso objetivo é determinar a deformação em A e não em C, e como calcular ela? O principio é muito parecido, porém aqui temos que a deformação é zero no ponto B e a de A é o que precisamos descobrir, porém, usaremos um novo conceito que é o seguinte:

y A / C = y A - y B / C

E olha que interessante, o que estamos definindo aqui é que a deformação relativa total entre o ponto A que sobe e o ponto C que desce, é igual o total que A deforma menos o que C deforma com relação ao apoio, certo? E faz todo sentido, já que a deformação entre a extremidade e o meio soma as duas deformações, se eu souber quanto o meio deforma com relação ao apoio, eu consigo achar quanto a extremidade também deforma, e assim tudo fica na mais perfeita tranquilidade, certo?

Beleza, mas como determinar y A / C ? Da mesma maneira que determinamos y B / C , mas ao invés de determinarmos o centroide com relação ao apoio, determinaremos com relação a extremidade, e assim usaremos as 3 áreas e teremos que:

y A / C = - y 1 A 1 + y 2 A 2 + y 3 A 3

y A / C = - 1,1 21 E I + 0 , 2 0,045 P E I + 0,9 0,36 P E I

E temos que lembrar que:

y A / C = y A - y B / C

- 1,1 21 E I + 0,2 0,045 P E I + 0,9 0,36 P E I = y A - - 0,8 21 E I + 0,6 0,36 P E I

- 1,1 21 E I + 0,2 0,045 P E I + 0,9 0,36 P E I = y A + 0,8 21 E I - 0,6 0,36 P E I

0,2 0,045 P E I + 0,9 0,36 P E I + 0,6 0,36 P E I = y A + 0,8 21 E I + 1,1 21 E I

0,549 P E I = y A + 39,9 E I

Para o item A) queremos o valor de P para que o nosso ponto A não deforme, assim, temos que:

0,549 P E I = y A + 39,9 E I

0,549 P E I = 0 + 39,9 E I

0,549 P = 39,9

P = 72,7   k N

Para o item B) queremos que a deformação seja limitada no máximo a 2,5 m m , assim temos que:

0,549 P E I = 2,5 × 10 - 3 + 39,9 E I

Pelo enunciado temos que:

E = 200   G P a = 200000 N m m 2

E o momento de inércia da viga S 150 x 18,6   é dado por:

I = 9,20 × 10 6 m m 4

Assim teremos que:

E I = 200000   N m m 2 × 9,20 × 10 6   m m 4 = 1,84 × 10 12   N m m 2 = 1840   k N m 2

Substituindo, teremos que:

0,549 P 1840 ≤ 2,5 × 10 - 3 + 39,9 1840

P ≤ 81,1

Resposta

  1. P = 72,7   k N
  2. P ≤ 81 , 1   k N
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