Enunciado

Uma barra uniforme A E está apoiada em dois pontos B e D . Determine a distância a das extremidades da barra até os apoios, para que as deflexões em A ,   C   e   E sejam iguais e para baixo.

Passo 1

E ai galera, até agora resolvemos apenas problemas com engastes, mas agora iremos começar a resolver problemas biapoiados, os conceitos vão se manter iguais aos que já conhecíamos, mas agora vamos ter que tomar um cuidado importante com o nosso diagrama de momentos fletores, então é de suma importância que fiquemos atento a ele, e por isso, vamos começar por ele, calculando primeiro a reação de apoio da nossa viga.

E para isso consideramos uma carga distribuída por toda a viga, assim podemos considerar uma carga w distribuída sobre a viga.

∑ M D = 0

- L - 2 a V B + w L L - 2 a 2 = 0

V B = V D = w L 2

E por fim tem uma coisa bem legal de se notar, a nossa viga é simétrica com cargas simétricas, certo? Então não precisamos desenhar o diagrama inteiro da viga, podemos desenhar só metade do nosso diagrama, e analisando o que temos até aqui, vamos ver que é exatamente isso aqui:

Assim o nosso diagrama de momentos fletores calculando um diagrama para cada carregamento será dado por:

E por fim, temos que dividir o nosso diagrama pelo nosso E I , assim, teremos que:

Passo 2

Sabemos que a deformação relativa entre pontos é dada por:

y A / C = y A - y C

Porém o enunciado deixa claro que os pontos A e C estão deformando na vertical do mesmo valor, ou seja, a deformação relativa tem que ser zero, assim, teremos que:

y A / C = 0

Agora basta determinarmos a área e a distância de cada área até a nossa extremidade, assim, temos que:

y A / C = y 1 A 1 - y 2 A 2

y A / C = 3 L 8 w L 3 48 E I - 1 3   L + a 1 16 w L L - 2 a 2 E I = 0

Aqui podemos fazer uma mudança legal para os nossos cálculos, e basicamente são duas, podemos simplificar tudo dividindo os dois termos da equação por:

w L 4 48 E I

Assim temos que:

3 8 -   L - 2 a 2 L + a L 3 = 0

E podemos fazer a seguinte relação, considerando:

U = a L

Assim temos que:

3 8 -   1 - 2 a L 2 ( L 2 ) L + a L 3 = 0

3 8 - 1 - 2 a L 2 1 + a L = 0

3 8 - 1 - 2 U 2 1 + U = 0

3 8 - ( 1 - 4 U + 4 U 2 ) 1 + U = 0

3 8 - ( 1 - 4 U + 4 U 2 + U - 4 U 2 + 4 U 3 ) = 0

3 8 - ( 1 - 3 U + 4 U 3 ) = 0

4 U 3 - 3 U + 5 8 = 0

Resolvendo a nossa equação, obtemos que:

Sabemos que a aqui temos que analisar duas coisas, primeiro, o nosso U é uma razão de comprimentos, logo, queremos a solução positiva, e também queremos a distancia mínima que causa o que o enunciado pede, ou seja, também descartamos o maior valor, assim, temos que:

U = 0,22315

Mas sabemos que:

0,22315 = a L

Assim, a nossa distância mínima vai ser dada por:

a = 0,223 L

Resposta

a = 0,223 L

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