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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 49a

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A declividade no ponto B

Passo 1

Então galera, até aqui vimos casos de vigas simétricas, e esse caso pode acabar nos dando um medinho, mas pode ficar tranquilo, porque todas as premissas continuam iguais, a diferença está em como vamos usar ela, e para isso, sabemos de cara que precisamos das nossas reações de apoio, com isso, vamos considerar a seguinte viga para o cálculo:

∑ M B = 0

- V A L + w L L 2 - P a = 0

- V A L + w L 2 2 - P a = 0

V A L = w L 2 2 - P a

V A = w L 2 - P a L

∑ F V = 0

w L 2 - P a L + V B - w L - P = 0

V B - w L 2 - P a + L L = 0

V B = w L 2 + P a + L L

Podemos usar um macete, vamos descartar o nosso apoio em A, e vamos supor que em B temos um engaste, e o macete vai ser desenhar o diagrama de cada carregamento separado, assim vamos ter:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , e assim teremos que:

Passo 2

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de A com relação a B da seguinte maneira:

θ A / B = θ A - θ B

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em B, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ B = θ A - θ A / B

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo B eu não irei modificar.

L θ B = L θ A - L θ A / B

L θ B = y A - y A / B

E sabemos que a deformação em A é zero, assim temos que:

θ B = - y A / B L

E para determinarmos a deformação y A / B precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ A, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito A / B . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = - w L 2 - P a L L E I × L × 1 2 = - w L 2 - P a L L 2 2 E I

A 2 = L × w L 2 2 E I × 1 3 = w L 3 6 E I

A 3 = a × P a E I × 1 2 = P a 2 2 E I

E além das áreas precisamos da distancia de cada centroide até o nosso ponto A, assim teremos que:

Assim podemos definir que os dados que devemos usar estão entre A e B:

y A / B = A 1 y 1 + A 2 y 2

y A / B = - w L 2 - P a L L 2 2 E I × 2 L 3 + w L 3 6 E I × 3 L 4  

y A / B = - w L 2 - P a L L 3 3 E I + w L 4 8 E I

y A / B = P a L 2 3 E I - w L 4 6 E I + w L 4 8 E I

y A / B = P a L 2 3 E I - 8 w L 4 48 E I + 6 w L 4 48 E I

y A / B = P a L 2 3 E I - 2 w L 4 48 E I

y A / B = P a L 2 3 E I - w L 4 24 E I

y A / B = L 2 24 E I 8 P a - w L 2

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ B = - y A B L = - L 2 24 E I 8 P a - w L 2 L = - L 24 E I 8 P a - w L 2

Assim, sabemos que:

P = 160   k N

a = 1,8 m

w = 40 k N m

L = 4,8 m

E = 200   G P a = 200 × 10 6   k N / m 2

I = 462 × 10 6   m m 4 = 4,62 × 10 - 4   m 4

E I = 92400   k N m 2

Substituindo, temos que:

θ B = - 4,8 24 × 92400 8 × 160 × 1,8 - 40 × 4,8 2

θ B = 2,992 × 10 - 3   r a d

Resposta

θ B = 2,992 × 10 - 3   r a d

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