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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 30

A viga é feita de um material com peso específico y . Determine o deslocamento e a inclinação em sua extremidade A devido a seu peso. O módulo de elasticidade para o material é E .

Passo 1

Primeiro, vamos fazer o DLC:

Sendo assim, temos:

W = P e s o   d a   v i g a γ = W v W = γ h L t 2

Por semelhança, temos:

L x = h b ' b ' = h L x

I = b h 3 12 L 3 x 3  

Para 0 ≤ x ≤ L :

∑ M = 0 - M x - γ b h 2 L x 2 x 3   = 0 M x = - γ b h 6 L x 3

Sabemos que:

E I d 2 v 1 d x 1 ² = M x

Logo:

E I d 2   v d x 2 = - γ b h 6 L x 3

d 2   v d x 2 = - γ b h 6 E I L x 3

d 2   v d x 2 = - 2 γ L 2 h 2 E

d v d x = - 2 γ L 2 h 2 E +   C 1

v = - γ h 2 E x 2 + C 1 x + C 2

Passo 2

As condições de contorno serão:

x = L → d v d x = 0 → v = 0

Logo, substituindo:

C 1 = - 2 γ L 3 h 2 E ; C 2 = - γ L 4 h 2 E

Passo 3

Por fim, temos que o deslocamento em A ocorre em x = 0 : v A = - γ L 4 h 2 E

θ A = 2 γ L 3 h 2 E

Resposta

v A = - γ L 4 h 2 E

θ A = 2 γ L 3 h 2 E

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