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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 26

Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas x 1 e x 2 e especifique a inclinação em C   e o deslocamento em B . E I é constante.

Passo 1

Primeiro, vamos fazer o somatório das forças ultizando as equações de equilíbrio e momento: ∑ F y = 0 V A - w a = 0 V A = w a

∑ M A = 0 M A - w a a + a 2 = 0 M A = 3 2 w a 2

Para 0 ≤ x 1 ≤ a :

∑ M = 0 M x 1 + 3 2 w a 2 - w a x 1   = 0 M x 1 = w a x 1 - 3 2 a

Sabemos que:

E I d 2 v 1 d x 1 ² = M x

Logo:

E I d 2 v 1 d x 1 2 = w a x 1 - 3 2 a

E I d v 1 d x 1 = w a x 1 2 2 - 3 2 a x 1 +   C 1

E I v 1 = w a x 1 3 6 - 3 4 a x 1 2 + C 1 x 1 + C 2

Para 0 ≤ x 3 ≤ 2 a :

∑ M = 0 M x 3 + w x 3 - a x 3 - a 2 2 - w a x 3 + 3 2 w a 2 = 0 M x 3 = - w 2 x 3 2 + 2 w a x 3 - 2 w a 2

Logo:

E I d 2 v 3 d x 3 2 = - w 2 x 3 2 + 2 w a x 3 - 2 w a 2

E I d v 3 d x 3 = - w 6 x 3 3 + w a x 3 2 - 2 w a 2 x 3 + C 3

E I v 3 = - w 24 x 3 4 + w a 3 x 3 3 - w a 2 x 3 2 + C 3 x 2 + C 4

Passo 2

As condições de contorno serão:

x 1 = 0 → v 1 = 0 e d v 1 d x 1

Já as condições de continuidade serão:

x 1 = x 2 = a → v 1 = v 3 = 0   e     d v 1 d x 1 = d v 3 d x 3

Logo, substituindo:

C 1 = 0 ; C 2 = 0 ; C 3 = 1 6 w a 3 ; C 4 = - 1 24 w a 4

Passo 3

Por fim, vamos substituir na Equação da linha elástica:

v 1 = w a x 1 12 E I 2 x 1 - 9 a x 1

v 3 = w 24 E I ( - x 3 4 + 8 a x 3 3 - 24 a 2 x 3 - a 4 )

Quanto à inclinação em B, podemos ver que ela ocorrem em x 3 = 2 a : θ C = - 7 w a 3 6 E I

Já para o deslocamento em C , ele ocorre em x 1 = a v C = - 7 w a 4 12 E I

Resposta

v 1 = w a x 1 12 E I 2 x 1 - 9 a x 1

v 3 = w 24 E I ( - x 3 4 + 8 a x 3 3 - 24 a 2 x 3 - a 4 )

θ C = - 7 w a 3 6 E I

v C = - 7 w a 4 12 E I

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