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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 59

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a declividade na extremidade A ;   (c) a deflexão no ponto C .

Passo 1

Fala aí galera. Bora pra mais uma questão. O primeiro passo para esta questão é determinar as reações de apoio .   Aplicando as equações de equilíbrio:

∑ M A = 0 → M 0 = a + b F B  

F B = M 0 a + b

Neste caso, considerei a reação em B   para baixo. Caso contrário, ela seria negativa. Continuando:

∑ F y = 0 → F A = F B

F A = M 0 a + b

Portanto, agora podemos determinar a equação do momento “caminhando” pela estrutura e acrescentando as parcelas do momento. A equação do momento em função de x será:

M x = F A x - < x - a > 0 M 0

M x = M 0 a + b x - < x - a > 0 M 0

A função - < x - a > 0 M 0 é chamada de função degrau. Logo, ela só funciona quando temos x > a .   Quando x ≤ a ,   ela é nula.

Portanto, a equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

Logo:

d y 2 d 2 x = M 0 a + b x - < x - a > 0 M 0 E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade. Logo:

E I   θ = M 0 a + b x 2 2   - < x - a > 1 M 0 + C 1

Para determinar C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que θ 0 = - θ ( L ) ,   pois o que a estrutura declina no primeiro apoio, deve ser compensado no segundo, mas em sentido oposto. Logo:

E I   θ 0 = C 1

E I   θ L = M 0 a + b L 2 2   - < L - a > 1 M 0 + C 1 = M 0 a + b L 2 2   - b   M 0 + C 1

θ 0 = - θ ( L )

C 1 = - M 0 a + b L 2 2 + b   M 0 - C 1

C 1 = - M 0 a + b L 2 4 + b M 0 2

Portanto:

E I   θ = M 0 a + b x 2 2 - < x - a > 1 M 0 - M 0 a + b L 2 4 + b M 0 2

Iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = M 0 a + b x 3 6 - < x - a > 2 M 0 2 - M 0 a + b L 2 4 x + b M 0 2 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que no apoio A ,   a deflexão é nula, logo:

y 0 = 0 → C 2 = 0

Logo:

E I   y = M 0 a + b x 3 6 - < x - a > 2 M 0 2 - M 0 a + b L 2 4 x + b M 0 2 x

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos substituindo as posições nas fórmulas encontradas. Para a letra b:

E I   θ 0 = M 0 a + b 0 2 2 - < 0 > 1 M 0 - M 0 a + b L 2 4 + b M 0 2

θ 0 = - M 0 a + b L 2 4 E I + b M 0 2 E I

Para a letra c:

E I   y a = M 0 a + b a 3 6 - < a - a > 2 M 0 2 - M 0 a + b L 2 4 a + b M 0 2 a

y a = M 0 a + b a 3 6 E I - M 0 a + b L 2 4 E I a + b M 0 2 E I a

Resposta

  1. d y 2 d 2 x = M 0 a + b x - < x - a > 0 M 0 E I
  2. θ 0 = - M 0 a + b L 2 4 E I + b M 0 2 E I
  3. y a = M 0 a + b a 3 6 E I - M 0 a + b L 2 4 E I a + b M 0 2 E I a
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Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto C (b) a deflexão no ponto B. Use E = 200 GPa.
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Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.
Para a viga e o carregamento indicados, determine o valor e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.46.