Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 53
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto C (b) a deflexão no ponto B. Use E = 200 GPa.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:
Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!
Passo 2
Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto A para descobrir uma expressão para o momento no engaste A, então teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de forças na direção y para encontrar uma expressão para a reação em A, então teremos:
Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga W410 X 60 lá no apêndice C do livro, de onde teremos:
Agora, como temos um carregamento distribuído na nossa viga que não vai até o final dela, nós precisamos desenhar um carregamento equivalente para que possamos usar as funções de singularidade. Então o carregamento equivalente será:
Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao oposto do carregamento, podemos escrever:
Passo 3
Agora, integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação , então nossa constante será:
Então a equação para o cisalhamento se torna:
Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:
Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:
Integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso temos o momento , então teremos:
Então nossa equação para o momento será:
Passo 4
Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:
Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:
Agora, para descobrir o valor de vamos utilizar a condição de contorno no engaste, onde sabemos que não haverá inclinação, ou seja:
Substituindo essa relação na equação para a inclinação, chegamos em:
Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:
Passo 5
Agora para encontrar o valor da constante , vamos novamente utilizar uma condição de contorno no engaste, só que agora com relação a deflexão, pois sabemos que não temos deflexão nesse ponto, ou seja:
Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:
Então, a nossa equação para a linha elástica será:
E a equação para a inclinação será:
Passo 6
Agora para a letra (a), para descobrir a reação no apoio móvel, vamos utilizar a equação para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em , pois sabemos que nesse ponto não temos deflexão, ou seja:
Substituindo esses valores na equação para a deflexão e também as relações para e encontradas no passo 2, teremos:
Quase lá em, falta só a (b) agora!
Passo 7
Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto B em , além de substituir as expressões que já conhecemos, então teremos:
Observe que multiplicamos os termos dentro dos parênteses por 1000, isso para converter a unidade kN para N. Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!