Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto C (b) a deflexão no ponto B. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto A para descobrir uma expressão para o momento no engaste A, então teremos:

+ ↻ ∑ M A = 0

- M A + 14 5 2,5 - C y 8 → M A = 175 - 8 C y

Agora vamos aplicar o somatório de forças na direção y para encontrar uma expressão para a reação em A, então teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y - 14 5 + C y = 0 → A y = 70 - C y

Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga W410 X 60 lá no apêndice C do livro, de onde teremos:

I = 216.10 6   m m 4 = 216.10 - 6   m 4

Agora, como temos um carregamento distribuído na nossa viga que não vai até o final dela, nós precisamos desenhar um carregamento equivalente para que possamos usar as funções de singularidade. Então o carregamento equivalente será:

Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao oposto do carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w = - 14 - 14 < x - 5 > 0

d V d x = - 14 + 14 < x - 5 > 0

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - 14 x + 14 < x - 5 > 1 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação A y , então nossa constante será:

C = A y

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - 14 x + 14 < x - 5 > 1 + A y

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - 14 x + 14 < x - 5 > 1 + A y

Integrando essa expressão, teremos:

M = - 7 x 2 + 7 < x - 5 > 2 + A y x + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso temos o momento M A , então teremos:

C = - M A

Então nossa equação para o momento será:

M = - 7 x 2 + 7 < x - 5 > 2 + A y x - M A

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - 7 x 2 + 7 < x - 5 > 2 + A y x - M A

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - 7 x 3 3 + 7 3 < x - 5 > 3 + A y x 2 2 - M A x + C 1

Agora, para descobrir o valor de C 1 vamos utilizar a condição de contorno no engaste, onde sabemos que não haverá inclinação, ou seja:

x = 0 → d y d x = 0

Substituindo essa relação na equação para a inclinação, chegamos em:

E I . 0 = - 7 0 3 3 + 7 3 < 0 - 5 > 3 + A y 0 2 2 - M A 0 + C 1 → C 1 = 0

Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - 7 x 4 12 + 7 12 < x - 5 > 4 + A y x 3 6 - M A x 2 2 + C 2

Passo 5

Agora para encontrar o valor da constante C 2 , vamos novamente utilizar uma condição de contorno no engaste, só que agora com relação a deflexão, pois sabemos que não temos deflexão nesse ponto, ou seja:

x = 0 → y = 0

Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = - 7 ( 0 ) 4 12 + 7 12 < 0 - 5 > 4 + A y ( 0 ) 3 6 - M A ( 0 ) 2 2 + C 2

C 2 = 0

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - 7 x 4 12 + 7 12 < x - 5 > 4 + A y x 3 6 - M A x 2 2 + C 2

y = 1 E I - 7 x 4 12 + 7 12 < x - 5 > 4 + A y x 3 6 - M A x 2 2

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = - 7 x 3 3 + 7 3 < x - 5 > 3 + A y x 2 2 - M A x + C 1

d y d x = 1 E I - 7 x 3 3 + 7 3 < x - 5 > 3 + A y x 2 2 - M A x

Passo 6

Agora para a letra (a), para descobrir a reação no apoio móvel, vamos utilizar a equação para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em x = 8   m , pois sabemos que nesse ponto não temos deflexão, ou seja:

x = 8   m → y = 0

Substituindo esses valores na equação para a deflexão e também as relações para A y e M A encontradas no passo 2, teremos:

0 = 1 200.10 9 216.10 - 6 - 7 8 4 12 + 7 12 < 8 - 5 > 4 + 70 - C y 8 3 6 - 175 - 8 C y 8 2 2

0 = - 2389,333 + 0,5833 + 5973,333 - 85,333 C y - 5600 + 256 C y

C y = 11,8   k N

Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto B em x = 5   m , além de substituir as expressões que já conhecemos, então teremos:

y = 1 200.10 9 216.10 - 6 ( 1000 ) - 7 ( 5 ) 4 12 + 7 12 < 5 - 5 > 4 + 70 - 11,8 ( 5 ) 3 6 - 175 - 8 11,8 ( 5 ) 2 2

y = 1 43,2.10 6 ( 1000 ) - 364,58 + 0 + 1212,5 - 1007,5

y = - 3,69.10 - 3   m

Observe que multiplicamos os termos dentro dos parênteses por 1000, isso para converter a unidade kN para N. Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : C y = 11,8   k N

b : y = - 3,69.10 - 3   m

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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em A
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em D
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A Deflexão no ponto B. usar E = 200 G P a
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A Deflexão no ponto B. usar E = 200 G P a
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em A