Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 57
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto D.
Passo 1
Opaa! Exerciciozinho literal, vamos nessa! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:
Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!
Passo 2
Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Beleza! Como temos um carregamento distribuído que não vai até o final da viga, precisamos desenhar um carregamento equivalente que vá até o final da viga, para que possamos escrever o carregamento no formato da equação de singularidade. Então o carregamento equivalente será:
Agora, sabendo que a derivada da função de cisalhamento é igual ao oposto do carregamento, podemos escrever:
Passo 3
Agora, integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação , então nossa constante será:
Então a equação para o cisalhamento se torna:
Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:
Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:
Integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não teremos o momento localizado em A, então teremos:
Então nossa equação para o momento será:
Passo 4
Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:
Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:
Agora, para descobrir o valor de vamos utilizar a condição de contorno no engaste em A, onde sabemos que não haverá inclinação, ou seja:
Substituindo essa relação na equação para a inclinação, chegamos em:
Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:
Passo 5
Agora para encontrar o valor da constante , nós vamos utilizar a condição de contorno no ponto A, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:
Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:
Então a equação para a linha elástica será:
E a equação para a inclinação será:
Passo 6
Agora para descobrir o valor da reação em A pedido na letra (a), vamos utilizar as condições de contorno para o engaste B, onde sabemos que:
Substituindo a primeira condição de contorno na equação da inclinação obtida no passo 5, teremos:
Essa será nossa equação 1. Agora, vamos substituir as condições de contorno para a deflexão no ponto B, então teremos:
Essa será nossa equação 2. Agora vamos multiplicar a primeira equação por e depois somar com a segunda, então teremos:
Somando essa equação com a segunda, temos:
Quase lá em, falta só a (b) agora!
Passo 7
Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto D em , além de substituir as expressões que já conhecemos. Só que antes, vamos precisar da expressão para , que podemos encontrar através de uma das relações do passo 6. Então pegando a equação 1, teremos:
Substituindo a expressão encontrada para , chegamos em:
Agora sim vamos calcular a deflexão no ponto D, onde teremos:
Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!