Enunciado

Para a viga e carregamento mostrado, pede-se:

  1. calcular o trabalho realizado pelas cargas, enquanto elas são aplicadas sucessivamente na viga, usando as informações do Apêndice D ;
  2. calcular a energia de deformação da viga, pelo método da Sec. 10.4, e mostrar que isto é igual ao trabalho obtido na parte a.

Passo 1

Oi, galerinha! Como vocês estão? Bora fazer um exercício de cálculo de trabalho realizado por momentos sobre uma viga que se deforma?

Temos que calcular o trabalho U de duas formas. Na forma (a), temos que calcular o trabalho U a , quando o momento M 0 do ponto A M A é aplicada primeiro. M A é aumentado até fazer o ponto A ter um ângulo de inclinação θ A A . Além disso, esse momento faz o ponto B se inclinar com um ângulo θ B A . Depois, o momento M 0 do ponto B M B é aplicada até fazer o ponto B se inclinar mais θ B B . Esse momento M B também faz o ponto A se inclinar mais θ A B .

Na figura acima podemos ver como M A e M B variam conforme as deformações aumentam. Abaixo das curvas vermelhas podemos ver as áreas coloridas A 1 , A 2 e A 3 . O trabalho U a é a soma dessas áreas que estão sob as curvas das cargas.

U a = A 1 + A 2 + A 3

Para calcular essas 3 áreas, precisamos saber quanto valem θ A A , θ B A , θ B B e θ A B . Para encontrar equações de θ A A , θ B A , θ B B e θ A B usamos o apêndice D do livro.

Descobriremos esses valores no próximo passo!

Passo 2

As equações de θ A A e θ B A são encontradas, quando consideramos que só existe um carregamento deformando a viga: o momento M A . Nesse caso, o tipo de viga e carregamento é o tipo 3 da tabela desse apêndice. Logo:

θ A A = M 0 L E I

O ângulo de inclinação do ponto B θ B A produzido pelo momento M A é encontrado usando a mesma fórmula mas considerando um comprimento de L 2 , porque o ponto B está a L 2 de distância da parede.

θ B A = M 0 L 2 E I

θ B A = M 0 L 2 E I

Já as equações de θ A B e θ B B são obtidas, quando consideramos que só existe um carregamento deformando a viga: o momento M B . Nesse caso, o tipo de viga e carregamento é o tipo 3 da tabela desse apêndice. No entanto, para achar θ B B , teremos que considerar que a viga tem metade do tamanho, porque o momento é aplicado a uma distância L 2 da parede

θ B B = M 0 L 2 E I

θ B B = M 0 L 2 E I

Para achar θ A B vamos precisar usar uma aproximação. Vamos considerar que o ângulo em A θ A B produzido pelo momento M B é igual ao ângulo θ B B produzido em B , porque do ponto B ao ponto A a viga não inclina mais.

θ A B = θ B B

θ A B = M 0 L 2 E I

Com essas equações, somos capazes de achar todas as áreas no próximo passo.

Passo 3

Então é isso, galera. Só falta aprender a calcular as 3 áreas a partir de θ A A , θ B A , θ B B e θ A B que resolvemos a letra (a) da questão. Aprendemos isso, olhando para os gráficos do primeiro passo. No primeira figura vemos que A 1 é um triângulo de base θ A A e altura M 0 , A 2 é um retângulo de lados θ A B e M 0 e A 3 é um triângulo de base θ B B e alturaM_0 . Por isso:

A 1 = θ A A M 0 2       ⟹       A 1 = M 0 L E I M 0 2       ⟹       A 1 = M 0 2 L 2 E I

A 2 = θ A B M 0       ⟹       A 2 = M L 2 E I M 0       ⟹       A 2 = M 0 2 L 2 E I

A 3 = θ B B M 0 2       ⟹       A 3 = M 0 L 2 E I M 0 2       ⟹       A 3 = M 0 2 L 4 E I

Substituindo essas áreas na equação de U a , achamos:

U a = A 1 + A 2 + A 3

U a = M 0 2 L 2 E I + M 0 2 L 2 E I + M 0 2 L 4 E I

U a = 5 M 0 2 L 4 E I

Aeee! Achamos a resposta da letra (a) da questão!

Vamos partir pra letra (b) agora!

Passo 4

Já falamos da forma (a) de se calcular o trabalho. Vamos entender qual seria a forma (b)!

A forma (b) de se calcular o trabalho U b é resolvendo a integral do momento fletor M abaixo.

U b = ∫ 0 L M 2 2 E I   d x

Para achar o trabalho U b , temos que resolver uma integral que tem o momento fletor M da viga. Isso quer dizer que precisamos achar M pra achar U b . Fazemos isso, dividindo a viga em duas partes (uma esquerda e outra direita). O M será encontrando calculando o equilíbrio de momentos da parte esquerda da viga. Se a parte esquerda incluir só o momento M A teremos:

Faremos o equilíbrio dessa parte esquerda em relação ao ponto x . A equação de equilíbrio de momentos diz que a soma dos momentos deve valer zero.

M A + M = 0

M 0 + M = 0

M = - M 0

Conseguimos achar um valor para M , mas M tem um segundo valor. Quando a parte esquerda da viga inclui o momento M B , esse momento fletor passa a ter outro valor.

M A + M B + M = 0

M 0 + M 0 + M = 0

M = - 2 M 0

Pronto, com os dois valores de M estamos aptos a encontrar U b !

Passo 5

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e L 2 e outro, quando x vale entre L 2 e L .

S e   0 ≤ x < L 2       ⟹       M = - M 0

S e   L 2 < x ≤ L       ⟹       M = - 2 M 0

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a L 2 para o primeiro valor de M e outra que vai de L 2 a L para o segundo valor de M .

U b = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

U b = ∫ 0 L 2 M 2 2 E I d x + ∫ L 2 L M 2 2 E I d x

Substituindo os valores de M nas integrais corretas, achamos:

U b = ∫ 0 L 2 - M 0 2 2 E I d x + ∫ L 2 L - 2 M 0 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U b = M 0 2 2 E I ∫ 0 L 2 1   d x + 4 M 0 2 2 E I ∫ L 2 L 1   d x

U b = M 0 2 2 E I x 0 L / 2 + 4 M 0 2 2 E I x L / 2 L

U b = M 0 2 L 4 E I + 4 M 0 2 L 2 E I - 4 M 0 2 L 4 E I

U b = 5 M 0 2 L 4 E I

Uhuuul! Achamos a letra (b) da questão! Arrasamos!

Resposta

a   U a = 5 M 0 2 L 4 E I

b   U b = 5 M 0 2 L 4 E I

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