Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado e usando os dados abaixo, determinar: (a) a seção transversal onde ocorre a máxima tensão normal; (b) a maior varga distribuída w que pode ser aplicada. Dados: σ a d m = 140   M P a ; L = 1,2   m ; h 0 = 50   m m ; h 1 = 80 m m e b = 40 m m .

Passo 1

Fala aí, pessoal!!!

Neste problema a gente tem que reparar que a seção transversal muda conforme avançamos na viga. É importante perceber que a seção é sempre um retângulo o que muda é a altura.

Então vai ser importante representar corretamente essa variação de altura em função de x para calcularmos o módulo resistente da seção e finalmente aplicarmos a equação:

σ = M W

Passo 2

Vamos começar calculando o módulo resistente dessa seção, lembrando que o módulo resistente W é calculado como:

W = I c

Como temos um retângulo, vamos ter:

I = 1 12 b h 3

E

c = h 2

Assim vamos ficar com:

W = 1 12 b h 3 h / 2

W = 1 6 b h 2

Passo 3

Beleza, mas esse h não varia? Então vamos expressar essa variação.

A gente pode ver pelo desenho que é uma variação linear então podemos expressar aplicando uma semelhança de triângulos:

h 1 - h 0 h - h 0 = 0,5 l x

h = h 1 - h 0 0,5 L x + h 0

Então podemos expressar o nosso módulo resistente como:

W = 1 6 b h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

Passo 4

Agora vamos calcular o momento fletor que atua nessa viga, olha só o esquema das forças:

Podemos perceber que A x = 0 já que é a única força que atua na horizontal. Agora vamos fazer o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - w × L + B y = 0

A y + B y = w L

Mas repare que o carregamento é simétrico, então os termos A y e B y são iguais!

A y = B y = w L 2

Agora podemos calcular o momento fletor da barra que é igual a:

M = V x + w x x 2

M = w L 2 - w x x + w x 2 2

M = w L 2 x - w x 2 2

M = w x 2 L - x

Passo 5

Se a gente já tem o módulo resistente e o momento fletor vamos aplicar a equação da tensão:

σ = M W

σ = w x 2 L - x 1 6 b h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

Simplificando:

σ = 3 w x ( L - x ) b h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

σ = 3 w b   .     x ( L - x ) h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

Agora, para achar o máximo dessa equação vamos derivar e igualar a zero e para ficar mais simples vamos considerar:

a = h 1 - h 0 0,5 L

Então vamos ter:

σ = 3 w b   .     x ( L - x ) a x + h 0 2

σ = 3 w b   .     x L - x 2 a x + h 0 2

Derivando:

d σ d x = 3 P b ( L - 2 x ) a x + h 0 2 - x L - x 2 2 a ( a x + h 0 ) a x + h 0 4

Como o numerador deve ser igual a zero:

( L - 2 x ) a x + h 0 2 - 2 a x L - x 2 a x + h 0 = 0

( L - 2 x ) a x + h 0 2 - 2 a x L - x a x + h 0 = 0

Colocando ( a x + h 0 ) em evidencia:

a x + h 0 ( L - 2 x ) ( a x + h 0 ) - 2 a x L - x = 0

Como x deve ser positivo podemos simplificar para::

L - 2 x a x + h 0 - 2 a x L - x = 0

a L x + L h 0 - 2 a x 2 - 2 h 0 x - 2 a L x + 2 a x 2 = 0

L h 0 - 2 h 0 x - a L x = 0

x ( 2 h 0 + a L ) = L h 0

x = L h 0 2 h 0 + a L

Substituindo o valor de a :

x = L h 0 2 h 0 + h 1 - h 0 0,5 L L

x = L h 0 2 h 0 + 2 h 1 - 2 h 0

x = L 2 h 0 h 1

Agora é só substituir os valores dos dados do problema:

x = 1,2 2 0,050 0,080

x = 0,375   m

Passo 6

Agora é só aplicar a equação da tensão máxima para esse ponto!

σ = M W

Para facilitar vamos substituir o valor de x separado:

M = w x 2 L - x

M = w L 2 h 0 h 1 2 L - 1 2 L h 0 h 1

M = w L 2 h 0 4 h 1 1 - 1 2 h 0 h 1

M = w L 2 h 0 4 h 1 1 - h 0 2 h 1

Agora para o módulo resistente:

W = 1 6 b h 1 - h 0 0,5 L x + h 0 2

W = 1 6 b h 1 - h 0 0,5 L × L 2 h 0 h 1 + h 0 2

W = 1 6 b h 1 - h 0 h 0 h 1 + h 0 2

W = 1 6 b h 0 - h 0 2 h 1 + h 0 2

W = 1 6 b 2 h 0 - h 0 2 h 1 2

W = 1 6 b h 0 2 - h 0 h 1 2

Substituindo na equação da tensão:

σ = M W

σ = w L 2 h 0 4 h 1 1 - h 0 2 h 1 1 6 b h 0 2 - h 0 h 1 2

σ = 3 w L 2 4 b 1 - h 0 2 h 1 2 - h 0 h 1 2 - h 0 h 1  

Multiplicando por 4 h 1 2 em cima e embaixo:

σ = 3 w L 2 4 b 4 h 1 2 - 2 h 1 h 0 4 h 1 - 2 h 0 4 h 1 - 2 h 0  

σ = 3 w L 2 4 b 2 h 1 2 h 1 - h 0 4 2 h 1 - h 0 2 h 1 - h 0  

Simplificando:

σ = 3 w L 2 4 b h 1 2 2 h 1 - h 0  

Agora é só substituir os valores dados:

140 × 10 6 = 3 w 1,2 2 4 × 0,040 0,080 2 2 × 0,080 - 0,050  

140 × 10 6 = 27 w 0,3636  

w = 14,26   k N / m

Resposta

a)

x = 0,375   m

b)

w = 14,26   k N / m

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