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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 17

Para a viga e o carregamento mostrados, determine (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão na extremidade livre.

Passo 1

Fala aí, galera. Tudo bem? Bora pra outra questão.

Neste tipo de questão, vamos utilizar a equação da linha neutra para acharmos a deflexão pedida.

Sabemos que a equação da linha neutra é dada por:

E I d 2 y d x 2 = M x

Logo, precisamos da equação do momento. Além disso, integrando a equação uma vez, temos a equação da rotação e, integrando duas vezes, temos a equação da deflexão. Todas as equações citadas acima são em função da distância x   axial à estrutura, indo da esquerda para a direita.

Para determinar a equação do momento, usaremos algumas equações auxiliares. Sabemos que:

d V d x = - w  

Como w   é fornecido, teremos:

d V d x = - w 0 1 - 4 x L + 3 x L 2

Portanto, integrando os dois lados em função de x :

V = - w 0 x - 2 x 2 L + x 3 L 2 + C V

Para determinar a constante de integração, basta substituir as condições de contorno. Neste caso:

x = L → V = 0

Pois o cortante é nulo no final da barra, para equilíbrio. Logo:

C V = 0

Também sabemos que:

d M d x = V = - w 0 x - 2 x 2 L + x 3 L 2

Logo:

M = - w 0 x 2 2 - 2 x 3 3 L + x 4 4 L 2 + C M

Pelo mesmo motivo, o momento no final da barra é nulo, logo:

M L = 0

C M = 1 12 w 0 L ²

Passo 2

Agora, com a equação do momento encontrada, basta substituir na equação da linha neutra e integrar duas vezes. Logo:

E I d 2 y d x 2 = - w 0 x 2 2 - 2 x 3 3 L + x 4 4 L 2 + 1 12 w 0 L ²

Colocando em evidência:

E I d 2 y d x 2 = - w 0 x 2 2 - 2 x 3 3 L + x 4 4 L 2 - 1 12 L ²

Logo, integrando-se duas vezes para acharmos a equação da linha elástica.

E I d y d x = - w 0 x 3 6 - x 4 6 L + x 5 20 L 2 - 1 12 L ² x + C 1

E I   y = - w 0 x 4 24 - x 5 30 L + x 6 1 20 L 2 - 1 24 L ² x ² + C 1 x + C 2

Passo 3

Para determinar as constantes de integração, vamos aplicar algumas condições de contorno. Como temos um engaste, tanto a rotação como a deflexão no engaste são nulos, portanto:

x = 0 → y = 0   e d y d x = 0

Logo:

C 2 = C 1 = 0

Passo 4

Pronto, já temos todas as incógnitas. Basta listar o que o problema pede. Na letra a ,   a equação da linha elástica será:

y = - w 0 E I x 4 24 - x 5 30 L + x 6 120 L 2 - 1 24 L ² x ²

Passo 5

Para a letra b, basta substituir a posição do ponto B   na equação da linha elástica. Logo:

x = L

y B = - w 0 E I L ² L 6 24 - L 6 30 + L 6 120 - 1 24 L 6

Substituindo os valores:

y B = w 0 L 4 40 E I

Até a próxima!

Resposta

  1. y = - w 0 E I x 4 24 - x 5 30 L + x 6 120 L 2 - 1 24 L ² x ²
  2. y B = w 0 L 4 40 E I
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