Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas de Revisão - Ex. 159
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a equação da linha elástica, a inclinação na extremidade e a deflexão no ponto médio do vão livre.
Passo 1
Fala aí, gurizada. Tudo bem? Vamos praticar mais mecânica.
Neste problema, para determinarmos o que é pedido vamos começar utilizando a seguinte relação:
Ela nos diz que a derivada da função de força cortante é a função simétrica da função do carregamento distribuída. Dado que o carregamento é dado por:
A equação da força cortante vai ser:
Ao integrarmos esta equação, vamos obter a equação de momento fletor. Portanto:
O último passo para encontrarmos a equação para o momento é determinarmos as constantes. Sabemos que nestas condições, o momento nas extremidades e é nulo. Logo as condições de contorno serão:
Substituindo nas equações de força cortante e momento fletor, vamos ficar com um sistema. Vamos adiantar as coisas e resolver ele pra você, assim, as constantes são:
Portanto, a equação de momento vai ser dada por:
Passo 2
Com isso, podemos substituir a equação de momento que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:
Substituindo:
Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:
Integrando mais uma vez:
Passo 3
Em seguida, para encontrarmos a deflexão e a inclinação, precisamos primeiro encontrar a equação da linha elástica. Para isso, vamos encontrar as condições de contorno para as equações do ultimo passo. Fica assim:
Portanto, quando está nas extremidades, a deflexão é nula. Portanto, substituindo essas condições de contorno, temos que:
Com as constantes definidas, basta as substituirmos nas equações que encontramos anteriormente. A equação da linha elástica vai ser:
E a equação para a inclinação vamos encontrar substituindo a constante em . Logo:
Passo 4
Para encontrarmos a inclinação no ponto basta substituirmos em . Logo:
Opa, encontramos a inclinação em .
Passo 5
Por fim, para encontrarmos a deflexão no ponto médio, ou seja, em , vamos resolver a equação da linha elástica neste ponto. Temos: