Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a intensidade e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.128.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar o exercício desenhando o DCL para o sistema:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- A y L + w 0 L 2 L 3 = 0 → A y = w 0 L 6

Sendo assim, vamos agora desenhar um DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < L , onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F, onde teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - w 0 L 6 x + w 0 x L 2 x x 3 = 0 → M = w 0 L x 6 - w 0 x 3 6 L

Passo 3

Então, agora podemos dividir o momento aplicado na viga em 2, aquele que é gerado pela reação em apoio em A, que chamaremos de 1, e aquele gerado pelo carregamento distribuído, que chamaremos de 2, então teremos:

M 1 = w 0 L x 6   0 < x < L

M 2 = - w 0 x 3 6 L   0 < x < L

Agora nós vamos encontrar os valores para os momentos nos pontos A e B. Então teremos:

M 1 A = 0

M 1 B = w 0 L L 6 → M 1 B = w 0 L 2 6

M 2 A = 0

M 2 B = - w 0 L 3 6 L → M 2 B = - w 0 L 2 6

Agora podemos desenhar o diagrama M/EI para a nossa viga, que será dado por:

Passo 4

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = L w 0 L 2 6 E I 2 → A 1 = w 0 L 3 12 E I

x - 1 = b 3 = L 3 → x - 1 = L 3

A 2 = b h 4 = L - w 0 L 2 6 E I 4 → A 2 = - w 0 L 3 24 E I

x - 2 = b 5 = L 5 → x - 2 = L 5

Passo 5

Tá legal! Agora, para encontrar a localização do ponto de maior deflexão, precisamos encontrar primeiro a inclinação do ponto A, que pode ser dada através da equação 9.22 vista nesse capítulo, onde temos:

θ A = - t B / A L

Em que t B / A é o desvio tangencial de B com relação a A e L é o comprimento entre esses dois pontos. No entanto, o desvio tangencial pode ser encontrado através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t B / A = A B A x -

Em que A B A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto B. Então a equação acima se torna:

t B / A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t B / A = w 0 L 3 12 E I L 3 + - w 0 L 3 24 E I L 5 = w 0 L 4 36 E I - w 0 L 4 120 E I

t B / A = 7 w 0 L 4 360 E I

Então a inclinação em A será:

θ A = - t B / A L = - 7 w 0 L 4 360 E I L → θ A = - 7 w 0 L 3 360 E I

Passo 6

Agora, sabemos que a deflexão será máxima quando a inclinação for igual a zero, então vamos escrever a equação para a inclinação em um ponto K qualquer com relação ao ponto A, onde teremos:

θ K / A = θ K - θ A → θ K = θ A + θ K / A

Então, sabendo que a inclinação corresponde a área embaixo da curva M/EI, dessa forma teremos:

θ K / A = A 1 + A 2

Então, substituindo as expressões conhecidas, teremos:

θ K A = b h 2 + b h 4 = x K w 0 L x K 6 E I 2 + x K - w 0 x K 3 6 L E I 4

θ K / A = w 0 L x K 2 12 E I - w 0 x K 4 24 L E I

Substituindo essa expressão na equação para θ K teremos:

θ K = θ A + θ K / A → θ K = - 7 w 0 L 3 360 E I + w 0 L x K 2 12 E I - w 0 x K 4 24 L E I

Agora para descobrir a localização da deflexão máxima, vamos igualar essa equação a zero, e teremos:

0 = - 7 w 0 L 3 360 E I + w 0 L x K 2 12 E I - w 0 x K 4 24 L E I → w 0 L 2 360 E I - 7 + 30 x K L 2 - 15 x K L 4 = 0

15 x K L 4 - 30 x K L 2 + 7 = 0

Agora, para resolver essa equação quadrática, vamos chamar:

x K L 2 = z

Então a equação acima do 4° grau se torna:

15 z 2 - 30 z + 7 = 0

Passo 7

Agora, resolvendo essa equação por Bháskara, teremos:

z = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 30 ± - 30 2 - 4 15 7 2 15

z 1 = 1,73

z 2 = 0,2697

Então, como temos z = ( x K / L ) ² , sabemos que essa relação não pode ser maior que 1, já que x K < L , então o nosso valor de z será:

z = z 2 = 0,2697

Então, substituindo esse valor na nossa relação de transformação, teremos:

z = x K L 2 → x K L 2 = 0,2697 → x K = 0,51933 L

Beleza, agora só falta encontrar a deflexão máxima, bora lá!

Passo 8

Agora, para calcular a deflexão nesse ponto, usaremos o teorema do segundo momento de área, onde teremos:

t K / A = A K A x - → t K - t A = A K x - K = A 1 K x - 1 K + A 2 K x - 2 K

Substituindo os valores conhecidos, e sabendo que não temos deflexão no ponto A devido ao apoio, teremos:

t K - 0 = x K w 0 L x K 6 E I 2 2 x K 3 + x K - w 0 x K 3 6 L E I 4 4 x K 5

t K = w 0 L x K 3 18 E I - w 0 x K 5 30 L E I

Substituindo o valor encontrado para x K no passo anterior, teremos:

t K = w 0 L 0,51933 L 3 18 E I - w 0 0,51933 L 5 30 L E I → t K = 6,522.10 - 3 w 0 L 4 E I

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

x K = 0,51933 L

t K = 6,522.10 - 3 w 0 L 4 E I

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