Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 141
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a intensidade e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.126.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal, vamos começar o exercício desenhando o DCL para o sistema:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:
Sendo assim, vamos agora desenhar um DCL para uma seção da viga de comprimento , onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F, onde teremos:
Agora vamos estender a seção da viga até algum ponto entre D e E, onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto G, onde teremos:
Passo 3
Agora, para a última seção, que vai até o trecho entre os pontos E e B, teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto H, onde teremos:
Agora nós vamos encontrar os valores para os momentos nos pontos D e E, já que os momentos serão iguais a zero nos apoios. Então teremos:
Agora podemos desenhar o diagrama M/EI para a nossa viga, que será dado por:
Passo 4
Antes de calcularmos as áreas do diagrama, precisamos saber em que ponto o momento no trecho D-E é igual a zero, para sabermos o comprimento dos triângulos 2 e 3. Então, igualando a equação do momento para essa seção a zero, teremos:
Esse será o comprimento do triângulo 2, e o comprimento do 3 será o restante para completar L/4, ou seja, será L/12. Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:
Passo 5
Tá legal! Agora, para encontrar a localização do ponto de maior deflexão, precisamos encontrar primeiro a inclinação do ponto A, que pode ser dada através da equação 9.22 vista nesse capítulo, onde temos:
Em que é o desvio tangencial de B com relação a A e L é o comprimento entre esses dois pontos. No entanto, o desvio tangencial pode ser encontrado através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto B. Então a equação acima se torna:
Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Então a inclinação em A será:
Passo 6
Agora, sabemos que a deflexão será máxima quando a inclinação for igual a zero, então vamos escrever a equação para a inclinação em um ponto K qualquer com relação ao ponto A, onde teremos:
Então, sabendo que a inclinação corresponde a área embaixo da curva M/EI, vamos assumir que o ponto de deflexão máxima está entre os pontos A e D, dessa forma teremos:
Então, substituindo as expressões conhecidas, teremos:
Substituindo essa expressão na equação para teremos:
Agora para descobrir a localização da deflexão máxima, vamos igualar essa equação a zero, e teremos:
Podemos ver que o valor realmente se encontra no trecho suposto. Então bora calcular essa deflexão.
Passo 7
Agora, para calcular a deflexão nesse ponto, usaremos o teorema do segundo momento de área, onde teremos:
Substituindo os valores conhecidos, e sabendo que não temos deflexão no ponto A devido ao apoio, teremos:
Tooop! Terminamos mais um!!