Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a intensidade e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.129.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar o exercício desenhando o DCL para o sistema:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- A y 6 + 40 4,5 + 20 3 = 0 → A y = 40   k N

Sendo assim, vamos agora desenhar um DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 1,5   m , onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F, onde teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 40 x = 0 → M = 40 x

Agora vamos estender o comprimento até um ponto entre C e D, onde teremos o seguinte DCL:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto G, onde teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 40 x + 1,5 + 40 x = 0 → M = 60   k N . m

Passo 3

E, agora, estendendo o comprimento da seção até algum ponto entre D e B, teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto H, onde teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - 40 x + 3 + 40 x + 1,5 + 20 x = 0 → M = - 20 x + 60

Agora nós vamos encontrar os valores para os momentos nos pontos A, C, D e B. Então teremos:

M A = 0

M C = 40 1,5 → M C = 60   k N . m

M D = 60   k N . m

M B = - 20 3 + 60 → M B = 0

Agora podemos desenhar o diagrama M/EI para a nossa viga, que será dado por:

Passo 4

Beleza! Antes de calcularmos as áreas do gráfico M/EI, precisamos encontrar o valor do termo EI. Então vamos começar indo lá no apêndice C para pegar o momento de inércia para o nosso perfil de viga, onde teremos:

I = 70,8.10 6   m m 4 = 70,8.10 - 6   m 4

Então o nosso termo EI será:

E I = 200.10 9 70,8.10 - 6 → E I = 14,16.10 6   N . m 2 = 14160   k N . m 2

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = ( 1,5 ) 60 14160 2 → A 1 = 3,178.10 - 3

x - 1 = b 3 = 1,5 3 → x - 1 = 0,5   m

A 2 = b h = 1,5 60 14160 → A 2 = 6,356.10 - 3

x - 2 = b 2 = 1,5 2 → x - 2 = 0,75   m

A 3 = b h 2 = ( 3 ) 60 14160 2 → A 3 = 6,356 . 10 - 3

x - 3 = b 3 = 3 3 → x - 3 = 1   m

Passo 5

Tá legal! Agora, para encontrar a localização do ponto de maior deflexão, precisamos encontrar primeiro a inclinação do ponto A, que pode ser dada através da equação 9.22 vista nesse capítulo, onde temos:

θ A = - t B / A L

Em que t B / A é o desvio tangencial de B com relação a A e L é o comprimento entre esses dois pontos. No entanto, o desvio tangencial pode ser encontrado através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t B / A = A B A x -

Em que A B A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto B. Então a equação acima se torna:

t B / A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t B / A = 3,178.10 - 3 4,5 + 0,5 + 6,356.10 - 3 3 + 0,75 + 6,356.10 - 3 ( 2 )

t B / A = 52,437 . 10 - 3

Então a inclinação em A será:

θ A = - t B / A L = - 52,437 . 10 - 3 6 → θ A = - 8,7395 . 10 - 3   r a d

Passo 6

Agora, sabemos que a deflexão será máxima quando a inclinação for igual a zero, então vamos escrever a equação para a inclinação em um ponto K qualquer com relação ao ponto A, onde teremos:

θ K / A = θ K - θ A → θ K = θ A + θ K / A

Então, sabendo que a inclinação corresponde a área embaixo da curva M/EI, vamos assumir que o ponto de deflexão máxima está entre os pontos C e D, dessa forma teremos:

θ K / A = A 1 + A K 2

Então, substituindo as expressões conhecidas, teremos:

θ K / A = 3,178.10 - 3 + b h = 3,178.10 - 3 + x K - 1,5 60 14160

θ K / A = 3,178.10 - 3 + x K - 1,5 60 14160

Substituindo essa expressão na equação para θ K teremos:

θ K = θ A + θ K / A → θ K = - 8,7395.10 - 3 + 3,178.10 - 3 + x K - 1,5 60 14160

Agora para descobrir a localização da deflexão máxima, vamos igualar essa equação a zero, e teremos:

0 = - 8,7395.10 - 3 + 3,178.10 - 3 + x K - 1,5 60 14160

x K - 1,5 60 14160 = 5,5615.10 - 3 → x K = 2,8125   m

Podemos ver que esse valor realmente está dentro do intervalo suposto da maior deflexão. Beleza, agora só falta encontrar a deflexão máxima, bora lá!

Passo 7

Agora, para calcular a deflexão nesse ponto, usaremos o teorema do segundo momento de área, onde teremos:

t K / A = A K A x - + θ A x A K → t K - t A = A K x - K = A 1 K x - 1 K + A 2 K x - 2 K + θ A x A K

Substituindo os valores conhecidos, e sabendo que não temos deflexão no ponto A devido ao apoio, teremos:

t K - 0 = 3,178.10 - 3 x K - 1,5 + 0,5 + x K - 1,5 60 14160 x K - 1,5 2 + - 8,7395.10 - 3 x K

Substituindo o valor encontrado para x K e resolvendo a expressão, chegaremos em:

t K - 0 = 3,178.10 - 3 2,8125 - 1,5 + 0,5 + 2,8125 - 1,5 60 14160 2,8125 - 1,5 2 + - 8,7395.10 - 3 2,8125

t K = 5,7601.10 - 3 + 3,6497.10 - 3 - 24,58.10 - 3

t K = - 15,17.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

x K = 2,8125   m

t K = - 15,17.10 - 3   m

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