Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 140
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a deflexão (a) no ponto D e (b) no ponto E.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Tá legal, devido a simetria do carregamento, sabemos que as forças nos apoios A e B serão iguais e correspondem a metade das forças localizadas aplicadas na viga, ou seja:
Sendo assim, vamos agora desenhar um DCL para uma seção da viga de comprimento , onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F, onde teremos:
Agora vamos estender a seção da viga até algum ponto entre D e E, onde teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto G, onde teremos:
Passo 3
Agora, para a última seção, que vai até o trecho entre os pontos E e B, teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto H, onde teremos:
Agora nós vamos encontrar os valores para os momentos nos pontos D e E, já que devido a simetria, os momentos serão iguais a zero nos apoios. Então teremos:
Agora podemos desenhar o diagrama M/EI para a nossa viga, só lembrando que como temos EI diferente para as seções, isso irá impactar na magnitude do gráfico, pois quanto maior EI, menor será o valor da curva M/EI para um mesmo valor de momento. Então, com os momentos que encontramos, teremos:
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:
Passo 4
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. E, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:
E, sabemos que o desvio tangencial do apoio B em relação a A é dado por:
Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Então a inclinação em A será:
E, agora podemos calcular a deflexão no ponto D, que será então:
Substituindo os valores conhecidos e sabendo que não temos deflexão no ponto A por causa do apoio, chegamos em:
Shoow! Bora pra (b) pra fechar!
Passo 5
Agora, para encontrar a deflexão no ponto E, vamos repetir o procedimento do passo 4, só mudando as referências. Então a nossa equação do segundo momento de área se torna:
Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Tooop! Terminamos mais um!!