Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 35
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica, (b) a inclinação na extremidade A e (c) a deflexão do ponto C.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:
Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!
Passo 2
Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Com o DCL acima, nós conseguimos escrever a equação de singularidade para o cisalhamento na viga, tomando o ponto A como referência, teremos:
Agora, sabendo que a derivada do momento equivale a equação para o cisalhamento, ou seja:
Substituindo a relação encontrada para o cisalhamento, temos:
Agora, integrando essa expressão, chegaremos em:
Nesse caso, representa os momentos localizados aplicados no sistema, como no nosso caso não temos nenhum, então:
E a nossa equação para o momento se torna:
Passo 3
Agora, para encontrar o valor da reação , podemos utilizar o valor do momento que é conhecido na extremidade B, que deve ser igual a zero, ou seja:
Substituindo esses valores na expressão para o momento, teremos:
Então a equação para o momento será:
Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:
Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:
Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:
Passo 4
Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes e vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão será zero nos dois apoios da viga, ou seja:
Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:
Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da deflexão, teremos:
Então, a nossa equação para a linha elástica será:
Belezaaa! Fechamos a letra (a), bora pra (b).
Passo 5
Agora para resolver a letra (b), vamos pegar a equação que encontramos para a inclinação da viga lá no passo 3, dada por:
Substituindo a expressão encontrada para no passo 4, temos:
Então, para calcular a inclinação no ponto A, basta calcular essa equação para , então teremos:
Tá aí! Bora pra (c) pra fechar.
Passo 6
Agora para a letra (c), vamos pegar a equação para a deflexão encontrada no passo 4 e calcular no ponto C, em , então teremos:
Tooop! Fechamos a letra (c) e o exercício por aqui, valeeu!