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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 41

Uma viga de madeira de 152,4   m m   x   304,8   m m foi reforçada aparafusando-se nela o reforço de aço mostrado na figura. O modulo de elasticidade para a madeira é de 12,4   G P a , e para o aço de 200   G P a . Sabendo que a viga é flexionada em torno do eixo horizontal por um momento fletor M = 50,8   k N m , determine a tensão máxima.

  1. Na madeira
  2. No aço

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então a madeira em uma correspondente em aço.

n = E m a d e i r a   E a ç o   = 12,4 200 = 0,062

E para mudarmos a largura da madeira precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,062   .   152,4 = 9,45   m m

Vale lembrar também que a conversão de polegadas para m m é dado por:

1   p o l e g a d a = 25,4   m m

Assim as dimensões do aço serão dadas por:

5   x 1 2 i n = 127   x   12,7 m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar as máximas tensões, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

E se verificarmos a estrutura que foi transformada, teremos que usar a seguinte equação:

σ x = - n M y I

Mas para podermos determinar o momento de inércia, precisamos determinar a linha neutra, e a linha neutra vai ser dada pela seguinte equação:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 A 1 + A 2

Sabendo que as dimensões são dadas por:

Assim temos que:

A 1 = 304,8 × 9,45 = 2880,36   m m 2

A 2 = 12,7 × 127 = 1612,9   m m 2

y - = 2880,36 × 165,1 + 1612,9 × 6,35 2880,36 + 1612,9 ≅ 108   m m

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   e   I 2 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples, e d 1   e   d 2 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN. Assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

A 1 = 304,8 × 9,45 = 2880,36   m m 2

A 2 = 12,7 × 127 = 1612,9   m m 2

I 1 = b h 3 12 = 9,45 × 304,8 3 12 = 22299517   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 127 × 12,7 3 12 = 21679   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = I 1 + I 2 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 )

I = 22299517 + 21679 + ( 2880,36 × 57,1 2 + 1612,9 × 101,65 2 )

I = 48377999   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

E aqui temos uma coisa muito importante, para termos as tensões máximas em cada material, precisamos pegar o ponto mais distante da LN referente a cada um deles, assim, teremos que:

Calculando primeiro o aço:

M = 50,8   k N m = 50800000   N m m

y - a ç o m a x i m o = - 108   m m

I = 48377999   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

σ a ç o m a x i m a = - 50800000   [ N m m ]   .   ( - 108 ) m m 48377999   [ m m 4 ]

σ a ç o m a x i m a = 113,4 N m m 2 = 113,4   M P a

E analisando agora a madeira teremos que lembrar de acrescentar o fator de mudança   n :

M = 50,8   k N m = 50800000   N m m

y - m a d e i r a m a x i m o = 209,5   m m

I = 48377999   m m 4

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

σ m a d e i r a m a x i m a = - 0,062 50800000   [ N m m ]   .   ( 209,5 ) m m 48377999   [ m m 4 ]

σ m a d e i r a m a x i m a = - 13,64 N m m 2 = - 13,64   M P a

Resposta

  1. σ m a d e i r a m a x i m a = - 13,64   M P a
  2. σ a ç o m a x i m a = 113,4   M P a
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