Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 109
Para a viga prismática e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no centro C da viga.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Beleza, para esse DCL, teremos momento ao longo de toda a viga, só que, como só temos uma força localizada no centro da viga, sabemos que o momento sairá de zero nos suportes, até um valor máximo no centro da viga. Devido a simetria do carregamento, sabemos que as reações nos apoios serão iguais e devem ser então metade da força P, ou seja:
E, o momento equivalente na viga será dado por:
Com , ou com mesma intensidade e direção oposta do outro lado da viga. Sendo assim, vamos calcular o momento no centro da viga, no ponto C, onde teremos:
Então a nossa parcela para o ponto C será:
Passo 3
Então, o nosso diagrama será:
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, devido a simetria do carregamento, as áreas serão iguais e a distância da base até o centroide também, então teremos:
Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama , então a inclinação do ponto A será:
Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:
Beleza, vamos pra (b) agora!
Passo 4
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama , teremos:
Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:
Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!