Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 112
Para a viga prismática mostrada, determinar a declividade no ponto .
Passo 1
Oi, gente! Tudo bem com vocês? Prontos para essa questão de cálculo de declividade pelo Teorema de Castigliano?
O enunciado pede para a gente calcular o ângulo de inclinação (também chamada de declividade) no ponto da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe um momento fictício que é aplicado nesse ponto . A imagem abaixo mostra essa situação.
Esse momento vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga como se de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular através de uma adaptação para o cálculo de declividades da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.
onde é a derivada parcial do momento fletor em relação ao momento fictício!
é a força de reação causada pela restrição no ponto e é a força de reação causada pela restrição no ponto . Precisamos de apenas uma dessas forças para encontrar o momento . No próximo passo, calcularemos .
Passo 2
A primeira etapa para fazer achar é encontrar a reação , fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto .
Como as forças fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente dos momentos das forças .
Agora estamos aptos a achar ! Para achar precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte direita da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto . O momento tem três valores: um quando a parte direita da barra ainda não inclui a força , o segundo quando a parte direita inclui a força e o terceiro quando a parte direita passa a incluir o momento . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de .
Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos e , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.
Agora vamos calcular o segundo valor de .
Por fim, vamos calcular o terceiro valor de !
Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos , e , porque os três fazem a viga girar no sentido horário.
Com esses três valores de , podemos começar a calcular , determinando os valores de .
Passo 3
Como existem três valores de , existem três valores de . Um para entre e e outro para entre e e um último para de a . Vamos derivar primeiro o primeiro valor de .
Como o termo não possui a variável , essa derivada vale zero.
Agora, vamos encontrar o valor de para o segundo valor de .
Por fim, vamos encontrar o valor de para o terceiro valor de .
Agora podemos achar .
Passo 4
Como e possuem três valores, precisamos dividir a integral que calcula em três. Uma que vai de a com os primeiros valores de e , outra que vai de a com os segundos valores de e e a última que vai de a com os terceiros valores de e .
Antes de substituir os valores de e nas integrais, podemos definir logo para facilitar a integração. Por conta disso, o segundo valor de vale:
O terceiro valor de também é modificado.
Agora sim fica melhor de substituir e nas integrais.
Que monstrengo, né? Relaxa que, se a gente reorganizar os termos, a integral fica com a cara mais bonitinha!
Integrando a função:
Substituindo os limites de integração:
Proooonto! Achamos o resultado que a questão pediu!!!