Enunciado

Para a viga prismática mostrada, determinar a declividade no ponto D .

Passo 1

Oi, gente! Tudo bem com vocês? Prontos para essa questão de cálculo de declividade pelo Teorema de Castigliano?

O enunciado pede para a gente calcular o ângulo de inclinação θ D (também chamada de declividade) no ponto D da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe um momento fictício M 0 que é aplicado nesse ponto D . A imagem abaixo mostra essa situação.

Esse momento M 0 vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga M como se M 0 de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular θ D através de uma adaptação para o cálculo de declividades da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.

θ D = ∫ 0 a + L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

onde ∂ M ∂ M 0 é a derivada parcial do momento fletor M em relação ao momento fictício!

R E é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R E é a força de reação causada pela restrição no ponto E . Precisamos de apenas uma dessas forças para encontrar o momento M . No próximo passo, calcularemos R E .

Passo 2

A primeira etapa para fazer achar M é encontrar a reação R E , fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A .

Como a força distribuída w faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento dessa força.

M R E - M w + M 0 = 0

R E L - ∫ 0 a w a + L - x '   d x ' + M 0 = 0

R E L - w a 2 2 + w a L + M 0 = 0

R E = w a 2 2 L + w a - M 0 L

Agora estamos aptos a achar M ! Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte direita da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem três valores: um quando a parte direita da barra ainda não inclui a força R E , o segundo quando a parte direita inclui a força R E e o terceiro quando a parte direita passa a incluir o momento M 0 . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M e M w , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

- M w - M = 0

- ∫ 0 x w x - x '   d x ' - M = 0

- w x 2 2 - M = 0

M = - w x 2 2

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

Lembrando que devemos colocar um sinal de menos na frente dos momentos M e M w , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

- M w + M R E - M = 0

- ∫ 0 a w x - x '   d x ' + R E x - a - M = 0

- w a x + w a 2 2 + w a 2 2 L + w a - M 0 L x - a - M = 0

M = w a 2 x 2 L - w a 3 2 L - w a 2 L 2 L - M 0 L x - a

M = w a 2 x - a 2 L - w a 2 L 2 L - M 0 L x - a

Por fim, vamos calcular o terceiro valor de M !

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M e M w , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

M 0 - M w + M R E - M = 0

M 0 - ∫ 0 a w x - x '   d x ' + R E x - a - M = 0

M 0 - w a x + w a 2 2 + w a 2 2 L + w a - M 0 L x - a - M = 0

M = w a 2 x 2 L - w a 3 2 L - w a 2 L 2 L - M 0 L x - a - L

M = w a 2 x - a - L 2 L - M 0 L x - a - L

Com esses três valores de M , podemos começar a calcular θ D , determinando os valores de ∂ M ∂ M 0 .

Passo 3

Como existem três valores de M , existem três valores de ∂ M ∂ M 0 . Um para x entre 0 e a e outro para x entre a e a + L 2 e um último para x de a + L 2 a a + L . Vamos derivar primeiro o primeiro valor de M .

∂ M ∂ M 0 = ∂ - w x 2 2 ∂ M 0

Como o termo - w x 2 2 não possui a variável M 0 , essa derivada vale zero.

∂ M ∂ M 0 = 0

Agora, vamos encontrar o valor de ∂ M ∂ M 0 para o segundo valor de M .

∂ M ∂ M 0 = ∂ w a 2 x - a 2 L - w a 2 L 2 L - M 0 L x - a ∂ M 0

∂ M ∂ M 0 = - x - a L

Por fim, vamos encontrar o valor de ∂ M ∂ M 0 para o terceiro valor de M .

∂ M ∂ M 0 = ∂ w a 2 x - a - L 2 L - M 0 L x - a - L ∂ M 0

∂ M ∂ M 0 = - x - a - L L

Agora podemos achar θ D .

Passo 4

Como ∂ M ∂ M 0 e M possuem três valores, precisamos dividir a integral que calcula θ D em três. Uma que vai de 0 a a com os primeiros valores de ∂ M ∂ M 0 e M , outra que vai de a a a + L 2 com os segundos valores de ∂ M ∂ M 0 e M e a última que vai de a + L 2 a a + L com os terceiros valores de ∂ M ∂ M 0 e M .

θ D = ∫ 0 a + L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

θ D = ∫ 0 a M E I ∂ M ∂ M 0   d x + ∫ a a + L 2 M E I ∂ M ∂ M 0   d x + ∫ a + L 2 a + L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

Antes de substituir os valores de ∂ M ∂ M 0 e M nas integrais, podemos definir M 0 = 0 logo para facilitar a integração. Por conta disso, o segundo valor de M vale:

M = w a 2 x - a 2 L - w a 2 L 2 L - M 0 L x - a

M = w a 2 x - a 2 L - w a 2 L 2 L

O terceiro valor de M também é modificado.

M = w a 2 x - a - L 2 L - M 0 L x - a - L

M = w a 2 x - a - L 2 L

Agora sim fica melhor de substituir ∂ M ∂ M 0 e M nas integrais.

θ D = ∫ 0 a - w x 2 2 E I × 0   d x + ∫ a a + L 2 w a 2 x - a 2 L - w a 2 L 2 L E I × - x - a L   d x

+ ∫ a + L 2 a + L w a 2 x - a - L 2 L E I × - x - a - L L   d x

Que monstrengo, né? Relaxa que, se a gente reorganizar os termos, a integral fica com a cara mais bonitinha!

θ D = ∫ a a + L 2 - w a 2 x - a 2 2 E I L 2 + w a 2 L x - a 2 E I L 2   d x + ∫ a + L 2 a + L - w a 2 x - a - L 2 2 E I L 2   d x

Integrando a função:

θ D = - w a 2 x - a 3 6 E I L 2 + w a 2 L x - a 2 4 E I L 2 a a + L 2 + - w a 2 x - a - L 3 6 E I L 2 a + L 2 a + L

Substituindo os limites de integração:

θ D = - w a 2 L 3 48 E I L 2 + w a 2 L 3 16 E I L 2 - w a 2 L 3 48 E I L 2

θ D = w a 2 L 3 48 E I L 2

Proooonto! Achamos o resultado que a questão pediu!!!

Resposta

θ D = w a 2 L 3 48 E I L 2

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