Enunciado

Para a viga prismática mostrada, determinar a deflexão no ponto D .

Passo 1

Fala, meus amados e minhas amadas! Tudo show de bolinha? Pronto para esse exercício de cálculo de deflexão pelo Teorema de Castigliano?

O enunciado pede para a gente calcular a deflexão y D no ponto D da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe uma força fictícia Q que é aplicada nesse ponto D . A imagem abaixo mostra essa situação.

Essa força Q vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga M como se Q de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular y D através da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.

y D = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ Q   d x

onde ∂ M ∂ Q é a derivada parcial do momento fletor M em relação à força fictícia!

Depois desse blábláblá, vamos começar a resolver o exercício calculando M .

Passo 2

Precisamos achar M pra achar y D . Fazemos isso, dividindo a viga em duas partes (uma esquerda e outra direita). O M será encontrando calculando o equilíbrio de momentos da parte esquerda da viga. Se a parte esquerda incluir apenas a força distribuída w teremos:

Faremos o equilíbrio dessa parte esquerda em relação ao ponto x . A equação de equilíbrio de momentos diz que a soma dos momentos deve valer zero.

M w + M = 0

∫ o x w x - x ' d x ' + M = 0

w x 2 2 + M = 0

M = - w x 2 2

Conseguimos achar um valor para M , mas M tem um segundo valor. Quando a parte esquerda da viga inclui a força Q , esse momento fletor passa a ter outro valor.

M w + M D + M = 0

w x 2 2 + Q x - L 2 + M = 0

M = - w x 2 2 - Q x + Q L 2

Com esses dois valores de M , podemos começar a calcular y D , determinando os valores de ∂ M ∂ Q .

Passo 3

Como existem dois valores de M , existem dois valores de ∂ M ∂ Q . Um para x entre 0 e L 2 e outro para x entre L 2 e L . Vamos derivar primeiro o primeiro valor de M .

∂ M ∂ Q = ∂ - w x 2 2 ∂ Q

Como o termo - w x 2 2 não possui a variável Q , essa derivada vale zero.

∂ M ∂ Q = 0

Agora, vamos encontrar o valor de ∂ M ∂ Q para o segundo valor de M .

∂ M ∂ Q = ∂ - w x 2 2 - Q x + Q L 2 ∂ Q

∂ M ∂ Q = L 2 - x

Agora podemos achar y D .

Passo 4

Como ∂ M ∂ Q e M possuem dois valores, precisamos dividir a integral que calcula y D em duas. Uma que vai de 0 a L 2 com os primeiros valores de ∂ M ∂ Q e M outra que vai de L 2 a L com os outros valores de ∂ M ∂ Q e M .

y D = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ Q   d x

y D = ∫ 0 L 2 M E I ∂ M ∂ Q   d x + ∫ L 2 L M E I ∂ M ∂ Q   d x

Antes de substituir os valores de ∂ M ∂ Q e M nas integrais, podemos definir Q = 0 logo para facilitar a integração. Por conta disso, o segundo valor de M vale:

M = - w x 2 2 - Q x + Q L 2

M = - w x 2 2

Agora sim fica melhor de substituir ∂ M ∂ Q e M nas integrais.

y D = ∫ 0 L 2 - w x 2 2 E I × 0   d x + ∫ L 2 L - w x 2 2 E I L 2 - x   d x

y D = ∫ L 2 L - w x 2 L 4 E I + w x 3 2 E I   d x

Integrando a função:

y D = - w x 3 L 12 E I + w x 4 8 E I L 2 L

Substituindo os limites de integração:

y D = - w L 4 12 E I + w L 4 8 E I - - w L 4 96 E I + w L 4 128 E I

y D = 73 w L 4 384 E I

Proooonto! Achamos o resultado que a questão pediu!!!

Resposta

y D = 73 w L 4 384 E I

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