Enunciado

Para a viga prismática mostrada, determinar a deflexão na extremidade A .

Passo 1

Oi, gente! Tudo bem com vocês? O enunciado pede o cálculo da deflexão no ponto A , mas ele está errado! O ponto A não sofre deflexão, porque seu movimento está restrito pelo apoio em A . Na verdade, o que essa questão realmente pede é o cálculo da declividade θ A da viga em A através do Teorema de Castigliano!

A declividade θ A da viga no ponto A é a mesma coisa que o ângulo de inclinação θ A no ponto A da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe um momento fictício M 0 que é aplicado nesse ponto A . A imagem abaixo mostra essa situação.

Esse momento M 0 vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga M como se M 0 de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular θ A através de uma adaptação para o cálculo de declividades da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.

θ A = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

onde ∂ M ∂ M 0 é a derivada parcial do momento fletor M em relação ao momento fictício!

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Precisamos de apenas uma dessas forças para encontrar o momento M . No próximo passo, calcularemos R A .

Passo 2

A primeira etapa para fazer achar M é encontrar a reação R A , fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B .

Como o momento da força a força R A e o momento M 0 fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desses momentos.

- M R A + M D - M 0 = 0

- R A L + P 3 L 4 - M 0 = 0

R A = 3 P 4 - M 0 L

Agora estamos aptos a achar M ! Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força P e o outro quando a parte esquerda inclui a força P . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M 0 e M R A , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

- M 0 - M R A + M = 0

- M 0 - R A x + M = 0

- M 0 - 3 P 4 - M 0 L x + M = 0

M = - M 0 L x - L + 3 P 4 x - L + 3 P L 4

Por fim, vamos calcular o segundo valor de M .

Mais uma vez colocamos um sinal de menos na frente dos momentos M 0 e M R A , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.

- M 0 - M R A + M D + M = 0

- M 0 - R A x + P x - L 4 + M = 0

- M 0 - 3 P 4 - M 0 L x + P x - L 4 + M = 0

M = - M 0 L x - L - P 4 x - L

Com esses dois valores de M , podemos começar a calcular θ A , determinando os valores de ∂ M ∂ M 0 .

Passo 3

Como existem dois valores de M , existem dois valores de ∂ M ∂ M 0 . Um para x entre 0 e L 4 e outro para x entre L 4 e L . Então vamos logo derivar o primeiro valor de M .

∂ M ∂ M 0 = ∂ - M 0 L x - L + 3 P 4 x - L + 3 P L 4 ∂ M 0

Essa primeira derivada vale:

∂ M ∂ M 0 = - x - L L

Por último, vamos encontrar o valor de ∂ M ∂ M 0 para o segundo valor de M .

∂ M ∂ M 0 = ∂ - M 0 L x - L - P 4 x - L ∂ M 0

∂ M ∂ M 0 = - x - L L

Agora podemos achar θ A .

Passo 4

Como ∂ M ∂ M 0 e M possuem dois valores, precisamos dividir a integral que calcula θ A em duas. Uma que vai de 0 a L 4 com os primeiros valores de ∂ M ∂ M 0 e M e outra que vai de L 4 a L com os segundos valores de ∂ M ∂ M 0 e M .

θ A = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

θ A = ∫ 0 L 4 M E I ∂ M ∂ M 0   d x + ∫ L 4 L M E I ∂ M ∂ M 0   d x

Antes de substituir os valores de ∂ M ∂ M 0 e M nas integrais, podemos definir M 0 = 0 logo para facilitar a integração. Por conta disso, o primeiro valor de M vale:

M = - M 0 L x - L + 3 P 4 x - L + 3 P L 4

M = 3 P 4 x - L + 3 P L 4

O segundo valor de M também é modificado.

M = - M 0 L x - L - P 4 x - L

M = - P 4 x - L

Agora sim fica melhor de substituir ∂ M ∂ M 0 e M nas integrais.

θ A = ∫ 0 L 4 3 P 4 x - L + 3 P L 4 E I × - x - L L   d x + ∫ L 4 L - P 4 x - L E I × - x - L L   d x

Que monstrengo, né? Relaxa que, se a gente reorganizar os termos, a integral fica com a cara mais bonitinha!

θ A = ∫ a L 4 - 3 P 4 E I L x - L 2 - 3 P L 4 E I L x - L   d x + ∫ L 4 L P 4 E I L x - L 2   d x

Integrando a função:

θ A = - 3 P 12 E I L x - L 3 - 3 P L 8 E I L x - L 2 0 L 4 + P 12 E I L x - L 3 L 4 L

Substituindo os limites de integração:

θ A = 81 P L 3 12 × 8 2 × E I L - 27 P L 3 2 × 8 2 × E I L - 3 P L 3 12 E I L - 3 P L 3 8 E I L + 27 P L 3 12 × 8 2 × E I L

θ A = 18 P L 3 2 × 8 2 × E I L - 27 P L 3 2 × 8 2 × E I L + 16 P L 3 2 × 8 2 × E I L

θ A = 7 P L 3 128 E I L

Proooonto! Achamos o resultado que a questão pediu!!!

Resposta

θ A = 7 P L 3 128 E I L

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