Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 114
Para a viga prismática mostrada, determinar a deflexão na extremidade .
Passo 1
Oi, gente! Tudo bem com vocês? O enunciado pede o cálculo da deflexão no ponto , mas ele está errado! O ponto não sofre deflexão, porque seu movimento está restrito pelo apoio em . Na verdade, o que essa questão realmente pede é o cálculo da declividade da viga em através do Teorema de Castigliano!
A declividade da viga no ponto é a mesma coisa que o ângulo de inclinação no ponto da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe um momento fictício que é aplicado nesse ponto . A imagem abaixo mostra essa situação.
Esse momento vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga como se de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular através de uma adaptação para o cálculo de declividades da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.
onde é a derivada parcial do momento fletor em relação ao momento fictício!
é a força de reação causada pela restrição no ponto e é a força de reação causada pela restrição no ponto . Precisamos de apenas uma dessas forças para encontrar o momento . No próximo passo, calcularemos .
Passo 2
A primeira etapa para fazer achar é encontrar a reação , fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto .
Como o momento da força a força e o momento fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desses momentos.
Agora estamos aptos a achar ! Para achar precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto . O momento tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui a força e o outro quando a parte esquerda inclui a força . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de .
Colocamos um sinal de menos na frente dos momentos e , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.
Por fim, vamos calcular o segundo valor de .
Mais uma vez colocamos um sinal de menos na frente dos momentos e , porque os dois fazem a viga girar no sentido horário.
Com esses dois valores de , podemos começar a calcular , determinando os valores de .
Passo 3
Como existem dois valores de , existem dois valores de . Um para entre e e outro para entre e . Então vamos logo derivar o primeiro valor de .
Essa primeira derivada vale:
Por último, vamos encontrar o valor de para o segundo valor de .
Agora podemos achar .
Passo 4
Como e possuem dois valores, precisamos dividir a integral que calcula em duas. Uma que vai de a com os primeiros valores de e e outra que vai de a com os segundos valores de e .
Antes de substituir os valores de e nas integrais, podemos definir logo para facilitar a integração. Por conta disso, o primeiro valor de vale:
O segundo valor de também é modificado.
Agora sim fica melhor de substituir e nas integrais.
Que monstrengo, né? Relaxa que, se a gente reorganizar os termos, a integral fica com a cara mais bonitinha!
Integrando a função:
Substituindo os limites de integração:
Proooonto! Achamos o resultado que a questão pediu!!!