Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 105
A viga rígida é sustentada por três cabos de aço , cada um com comprimento de . A área de seção transversal de e é , e a área da seção transversal de é . Determine a maior carga distribuída que pode ser suportada pela viga antes que qualquer dos cabos comece a escoar. Se considerarmos que o aço é elástico perfeitamente plástico, determine até que distância a viga é deslocada para baixo exatamente antes de todos os cabos começarem a escoar.
Passo 1
Três cabos de aço mantêm horizontal uma viga rígida. Um carregamento linearmente distribuindo puxa a viga para baixo.
Características dos cabos:
- Aço : , . (Tabelado)
- Área dos cabos laterais: . Área do cabo central: .
- Comprimento inicial: .
Queremos saber o maior valor que o carregamento linearmente distribuído pode ter sem que nenhum cabo escoe!
Depois, a questão também quer que encontremos qual o deslocamento para baixo que a viga sofre com o carregamento.
Passo 2
Diagrama de corpo livre.
Pela simetria ao redor de (equilíbrio de momentos), chegamos em:
Pra facilitar, vamos chamar de .
Agora vamos pro equilíbrio de forças. Atenção que a força equivalente gerada pelo carregamento é o tamanho da viga vezes .
Queremos o ! Precisamos de mais relações. Vamos ver o que a condição de compatibilidade nos dá.
Passo 3
O carregamento vai levar a viga para baixo, esticando os cabos. Devido à simetria e ao carregamento estar distribuído uniforme, a viga permanece horizontal. Então todos os cabos tem que esticar o mesmo comprimento!
Essa é a compatibilidade entre os cabos laterais e o central. Usando a relação carga-deslocamento:
Podemos substituir os valores e achar uma relação entre as forças. Mas antes disso, vamos ser espertos pra fazer menos conta!
Passo 4
Queremos o valor máximo de considerando que nenhum dos cabos pode sair do regime elástico! Então esse valor máximo acontece assim que um dos cabos alcançar o limite de escoamento! Temos que descobrir quem escoa primeiro.
Usando a fórmula da tensão, , podemos reescrever a condição de compatibilidade já tratando das tensões!
Eita! Isso quer dizer que enquanto estivermos no regime elástico, as tensões nos três cabos é sempre a mesma! Como todos os cabos tem o mesmo limite de escoamento , todos irão alcançar o limite ao mesmo tempo!
A força máxima que cada cabo pode aguentar sem escoar é quando .
Show! Agora vejamos a força máxima no cabo central antes que ele escoe:
Passo 5
Voltando para a condição de equilíbrio, podemos substituir e para achar o valor máximo de que o conjunto todo suporta antes de escoar:
Passo 6
Agora, para achar o deslocamento, como ainda estamos em regime elástico, podemos usar a relação carga-deslocamento! E com qualquer uma das forças, porque .
Resposta
Carga: .
Deslocamento: .