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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 150

Uma viga com a seção transversal mostrada na figura está submetida a um momento M 0 que atua em um plano vertical. Determine o maior valor admissível do momento M 0 se a tensão máxima na viga não deve ultrapassar 82,7 MPa. Dados: I y = I z = 4703.10 3   m m 4 , A = 3065   m m 2 , k m i n = 25   m m . (Sugestão: em razão da simetria, os eixos principais formam um ângulo de 45° com os eixos coordenados. Use as relações I m i n = A k m i n 2 e I m i n + I m a x = I y + I z )

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício escrevendo os momentos de inércia nas direções u e v , dessa forma, teremos:

M u = M 0 s e n 45 ° → M u = 0,707 M 0

M v = M 0 cos ⁡ 45 ° → M v = 0,707 M 0

Agora vamos calcular os momentos de inércia mínimo e máximo do sistema, começando pelo mínimo, temos:

I m i n = A k m i n 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

I m i n = 3065.10 - 6 0,025 2 → I m i n = 1,916.10 - 6   m 4

Agora, para o momento de inércia máximo, teremos:

I m a x = I y + I z - I m i n

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

I m a x = 4703.10 3 10 - 12 + 4703.10 3 10 - 12 - 1,916.10 - 6

I m a x = 7,49.10 - 6   m 4

Passo 2

Agora vamos calcular as distâncias ao longo dos eixos até o ponto de maior momento, ponto B , que fica na extremidade inferior da viga. Começando por u , teremos:

u B = y B c o s 45 ° + z B s e n 45 °

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

u B = ( - 90,7 ) 0,707 + 23,6 ( 0,707 )

u D = - 47,4   m m

Agora, na direção v , teremos:

v B = z B cos ⁡ 45 ° - y B s e n 45 °

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

v B = 23,6 0,707 - ( - 90,7 ) ( 0,707 )

v B = 80,8   m m

Passo 3

Agora podemos calcular a tensão no ponto B através da fórmula 4.58 vista nessa seção, que para os eixos principais resultará em:

σ B = - M v u B I v + M u v B I u = - M v u B I m i n + M u v B I m a x

Substituindo os valores encontrados nos passos 1 e 2 nessa equação, chegamos em:

σ B = - 0,707 M 0 - 47,4.10 - 3 1,916.10 - 6 + 0,707 M 0 80,8.10 - 3 7,49.10 - 6

σ B = 17,49.10 3 M 0 + 7,627.10 3 M 0 → σ B = 25,12.10 3 M 0

Dessa forma, isolando M 0 , teremos:

M 0 = σ B 25,12.10 3

Substituindo o valor da tensão admissível fornecida no enunciado, chegaremos em um momento admissível de:

M 0 = 82,7.10 6 25,12.10 3 → M 0 = 3,29   k N . m

Resposta

M 0 = 3,29   k N . m

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