Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 155

Uma viga com a seção transversal mostrada na figura é submetida a um momento M 0 atuando em um plano vertical. Determine o maior valor admissível do momento M 0 para que a tensão máxima não ultrapasse 100 MPa. Dados: I y = I z = b 4 / 36 e I y z = b 4 / 72 .

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer aqui é calcular o valor dos momentos de inércia através das fórmulas dadas no enunciado e do valor de b dado na ilustração do problema, então teremos:

I y = I z = b 4 36 = 60 4 36 → I y = I z = 0,36.10 6   m m 4

I y z = b 4 72 = 60 4 72 = 0,18.10 6   m m 4

Agora nós vamos utilizar o círculo de Mohr para encontrar as direções e tensões principais. Então, o círculo de Mohr para o problema em questão em função dos momentos de inércia será:

Dessa forma, podemos ver que o raio do círculo é igual ao momento de inércia I y z , então temos:

R = I y z = 0,18.10 6   m m 4

Passo 2

Ainda através do círculo de Mohr, podemos encontrar o valor do momento mínimo de inércia, que será dado por:

I u = I y + I z 2 - R

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

I u = 0,36.10 6 + 0,36.10 6 2 - 0,18.10 6 → I u = 0,18.10 6   m m 4

Da mesma forma, para o momento máximo de inércia, teremos:

I v = I y + I z 2 + R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

I v = 0,36.10 6 + 0,36.10 6 2 + 0,18.10 6 → I v = 0,54 . 10 6   m m 4

Agora vamos encontrar as expressões para os momentos ao longo dos planos principais, então teremos:

M u = M 0 s e n 45 ° → M u = 0,707 M 0

M v = M 0 cos ⁡ 45 ° → M v = 0,707 M 0

Agora vamos calcular o ângulo feito com o eixo principal ϕ através de:

tg ⁡ ϕ = I v I u tg ⁡ θ

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g   ϕ = 0,54.10 6 0,18.10 6 t g 45 ° → t g   ϕ = 3

ϕ = 71,56 °

Passo 3

Agora vamos calcular a distância de C até a extremidade com relação as duas direções principais, começando por u , temos:

u D = y D s e n 45 ° + z D c o s 45 ° = 0 0,707 + 0 ( 0,707 )

u D = 0

Agora, na direção v teremos:

v D = - y D s e n 45 ° + z D s e n 45 °

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

v D = - 20 0,707 + - 20 0,707 → v D = - 28,28   m m

Agora podemos calcular a tensão no ponto D através da fórmula 4.58 vista nessa seção, que para os eixos principais resultará em:

σ D = - M v u D I v + M u v D I u = - M v u D I m a x + M u v D I m i n

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores nessa equação, chegamos em:

σ D = - 0,707 M 0 0 0,54.10 6 ( 10 - 12 ) + 0 , 707 M 0 - 28,28.10 - 3 0,18.10 6 ( 10 - 12 )

σ D = - 111,08.10 3 M 0

Dessa forma, isolando M 0 , teremos:

M 0 = σ D - 111,08.10 3

Substituindo o valor da tensão admissível fornecida no enunciado, chegaremos em um momento admissível de:

M 0 = 100.10 6 - 111,08.10 3 → M 0 = - 900,3   N . m

Resposta

M 0 = - 900,3   N . m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o componente de máquina e o carregamento indicado, determinar as tensões nos pontos A e B , quando h = 60m m .
Para a barra curva e o carregamento mostrado, determinar a máxima tensão de compressão quando: (a) r = 45m m ;
Para a barra curva e o carregamento mostrado, determinar a tensão nos pontos A e B , quando: r 1 = 8m m
A seção Z mostrada está sujeita a um momento M 0 , atuando em um plano vertical. Determinar o maior valor permissível do momento fletor M 0 , se a máxima tensão não excede 100M P a . Dados: I m á x =
Uma viga com a seção transversal mostrada está submetida a um momento M 0 , que atua em um plano vertical. Determinar o maior valor permissível do momento fletor M 0 , se a máxima tensão na viga não e