Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B ; em seguida, trace os diagramas de força cortante e momento fletor. E I é constante. Despreze o efeito da carga axial.

Passo 1

Fala aí pessoal, vamos para mais um exercício de resmat.

Nossa estrutura é hiperestática e só tem forças verticais. Aí a gente vai achar as reações de apoio pela linha elástica. Olha nosso DCL:

A ideia aqui é achar as equações das linhas elásticas em função das reações em A ou B . E achar a essas reações pelas condições de contorno. Depois é usar as equações de equilíbrio para achar as reações que faltarem. Vai ser bonito. Vem ver como fica!

Passo 2

Para determinarmos as forças de reação, vamos utilizar a equação do momento em B , e achar as reações nele em função de A y e M A , temos:

∑ M B = 0 M A - A y L + 2 3 P L - M B = 0 M B = M A - A y L + 2 3 P L

Passo 3

Com isso, podemos determinar a função de momento fletor pela Função de Macaulay:

M x = - M A + A y x - P < x - L 3 > 1

Essa função representa que para L 3 > x , esse termo < x - L 3 > 1 zera. E para L 3 < x , esse termo vale x - L 3 . Aí não precisamos escrever uma equação para cada seção.

E então, pelo método da integração, vamos obter a equação da linha elástica. Fica assim:

E I d v 2 d x 2 = M x = - M A + A y x - P < x - L 3 > 1 E I d v d x = - M A x + A y 2 x 2 - P 2 < x - L 3 > 2 + C 1 E I v = - M A 2 x 2 + A y 6 x 3 - P 6 < x - L 3 > 3 + C 1 x + C 2

Passo 4

Para determinarmos as incógnitas restantes, temos que utilizar as seguintes condições de contorno:

Para   x = 0   : d v d x = 0   e   v = 0

Isso porque temos um engaste. Nele a deflexão e a inclinação zeram.

Logo:

E I d v d x = - M A x + A y 2 x 2 - P 2 < x - L 3 > 2 + C 1 → 0 = 0 + C 1 → C 1 = 0

E I v = - M A 2 x 2 + A y 6 x 3 - P 6 < x - L 3 > 3 + C 1 x + C 2 → 0 = 0 + C 2 → C 2 = 0

Para x = L :

d v d x = 0

Isso porque temos outro engaste:

0 = - M A L + A y 2 L 2 - P 2 4 9 L 2

A y = 4 P 9 + 2 M A L   [ 2 ]

Para x = L   ; v = 0 (também por causa do engaste):

0 = - M A 2 L 2 + A y 6 L 3 - P 6 8 27 L 3

A y = 8 P 27 + 3 M A L   [ 3 ]

Assim, igualando as equações 2 e 3 , vamos obter as reações nos apoios:

M A = 4 P L 27

A y = 4 P 9 + 2 M A L A y = 4 P 9 + 2 L 4 P L 27 A y = 20 P 27

Passo 5

Voltamos nas equações de equilíbrio para achar as reações em B :

∑ M B = 0

M B = 2 3 P L - A y L + M A M B = 2 3 P L - 20 P 27 + 4 P L 27 M B = 2 P L 27

∑ F y = 0 ∴ B y + A y = P ∴ B y = P - 20 P 27 = 7 P 27

Passo 6

Por fim, temos que a função do momento fletor vai ser:

M x = - M A + A y x - P < x - L 3 > 1

M x = 4 P L 27 + 20 P 27 x - P < x - L 3 > 1

Assim, podemos esboçar o diagrama de momento fletor:

Para esborçar o do cortante a gente segue o caminho das forças concentradas. Em A   subimos A y , depois ficamos constantes até a posição de P , onde descemos P . E depois ficamos constantes até B , onde subimos B y . Ficamos assim:

Resposta

M A = 4 P L 27

M B = 2 P L 27

A y = 20 P 27

B y = 7 P 27

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