Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 28
Visto que o concreto só pode suportar pouca ou nenhuma tração, esse problema pode ser evitado se o concreto for protendido com cabos ou hastes. Considere a viga simplesmente apoiada mostrada na figura, que tem seção transversal retangular de por . Se o peso específico do concreto for , determine a tração exigida na haste , que se estende por toda a viga, de modo que nenhuma tensão de tração seja desenvolvida na seção central da viga. Despreze o tamanho da haste e qualquer deflexão da viga.
Passo 1
Fala aí galerinha do RespondeAí, tudo belezinha?! Vamos entender o que está acontecendo.
A uma viga de concreto sobre dois apoios simples possui uma haste que serve para aliviar a viga de qualquer tração.
Características da viga:
- Comprimento: .
- Largura: .
- Espessura: .
- Peso específico: .
- Posição do centro: a dos apoios (altura na seção) e no meio da seção transversal.
- O enunciado disse para desprezar o tamanho dela. Então, não vamos considerar o diâmetro dela como desprezível.
Características da haste :
O peso da viga irá forçá-la para baixo. Queremos saber qual tração deve ter na haste para que na seção não tenhamos tração na viga!
Primeiro precisamos saber quais são os esforços na seção transversal . Aí a gente vê o que precisamos para a tração ser zero!
Passo 2
Vamos ver uma seção da viga indo da extremidade na direita até a seção transversal .
Fique atento que a reação trazida pela haste age a de altura, então a distância dessa força até o centro da seção é .
O peso da viga atua no meio da seção. A intensidade vai ser o volume dessa seção (a área transversal vezes ) vezes o peso específico .
O diagrama de corpo livre vai nos mostrar como as forças agem.
Queremos zerar a tração na direção . Dois efeitos causam essa tensão na seção : um devido a e outro devido a . Cuidado para não se confundir no sinal! Raciocine pensando nas direções que você assumiu no diagrama!
- comprime nossa seção.
- causa compressão para e tração para (eixo neutro no centro da viga).
O balanço da tensão na direção para que a tensão do momento para seja positiva é e para que cause compressão é:
A tração só vai ocorrer em . Para não ter tração, o valor máximo dela tem que ser cancelado pela compressão. O valor máximo de tração ocorre em .
Beleza! A área e o segundo momento de área a gente tem como calcular. Então precisamos descobrir quem é e , e achar o que isso tem a ver com a tração da haste .
Passo 3
Condições de equilíbrio! Olhe pra figura no Passo . Forças na horizontal:
Show! O que queremos já entrou na história!
O equilíbrio de forças na vertical não vai nos ajudar. Vamos ver o equilíbrio de momentos na seção
Se calcularmos o , teremos o e o dependendo só de . É tudo que a gente quer!
Para achar é só lembrar que a reação vertical dos apoios tem que aguentar o peso da viga, e a reação em cada apoio é a mesma por causa da simetria. Fazendo o equilíbrio para a toda viga:
Aproveita e calcula logo a área transversal:
Como :
Voltando ao momento:
Agora só temos uma incógnita , só falta fazer umas continhas.
Passo 4
Voltando à equação que queremos forçar ser verdade, substitua , e o valor da área:
Ah, ainda temos que calcular o momento de área ! Queremos ele em relação ao centro do retângulo (eixo neutro). Usando a fórmula:
Bora, só fazer as contas. Cuidado com as unidades!
Obs: Aqui deu diferente do gabarito, mas está certinho, pode confiar hehe!
Resposta
Tração na haste :.