Círculo de Mohr

O exercício quer que a gente desenhe o Círculo de Mohr para cada um dos estados de tensão mostrados.

Então lembra aí!

Para desenhar um Círculo de Mohr, devemos começar definindo as tensões , e do estado de tensões.

Feito isso, vamos poder calcular a tensão normal média:

...para, em seguida, marcarmos os pontos e em um gráfico .

Aí, usando o primeiro ponto como o centro do círculo, podemos abrir um compasso até o segundo ponto e desenha o Círculo de Mohr!

Então vamos lá!

Começando pelo item :

Nele, temos uma tração na horizontal de , uma compressão na vertical de , e nenhuma tensão de cisalhamento

Dessa forma, vamos ter que:

Agora, podemos calcular :

Desenhar os eixos e :

E em seguida marcar entre esses eixos os pontos e , ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:

E pronto!

Item resolvido.

Agora, para o item :

Nós vamos ter:

Dessa forma, vai ser:

Aí, marcando esse ponto e o ponto em um gráfico , ligando esses pontos e usando eles para desenhar um círculo, vamos ter o desenho:

Que é a resposta do item .

E para o item :

Temos:

De tal forma que:

Aí, marcando esse ponto e o ponto em um gráfico , ligando esses pontos e usando eles para desenhar um círculo, vamos ter:

Que é a resposta do item .

E assim finalizamos o exercício!

O que está acontecendo?

O exercício nos forneceu pela imagem um estado plano de tensões onde:

• Não existe tensão normal na horizontal, de tal forma que:

• Existe na vertical uma tração de , de tal forma que:

• E existe uma tensão de cisalhamento de , mas que está no sentido oposto de sua convenção usual, de tal forma que:

E o que é que ele quer?

Ele quer que a gente use o círculo de Mohr para determinar:

as tensões principais e e suas orientações e ;

& a tensão de cisalhamento máxima no plano , a tensão normal média que acompanha essa tensão de cisalhamento máxima e as orientações que causam essas tensões.

Então, para resolver esse exercício, vamos:

1. Calcular e utilizar esse ponto e o ponto para desenhar o Círculo de Mohr para esse estado de tensões.

2. Usar o teorema de Pitágoras para encontrar o raio do círculo de Mohr e, em seguida, calcular as tensões principais nele.

3. Usar seno, cosseno ou tangente no círculo de Mohr e a função , ou na calculadora para descobrir o valor dos ângulos e .

4. Aplicar e aproveitar o valor já calculado de para definir as tensões pedidas pelo item .

& 5. Aproveitar o ângulo encontrado no terceiro passo para estudar os ângulos no círculo de Mohr e reconhecer os ângulos que levam o elemento à orientação em que a tensão de cisalhamento é máxima.

Então vamos lá!

Como já definimos no passo anterior as tensões , e no nosso estado plano de tensões, já podemos agora calcular :

Desenhar os eixos e :

E em seguida marcar entre esses eixos os pontos:

• ;
• & ,

...para depois ligar esses pontos e usá-los para desenhar nosso círculo:

E pronto!

Nosso círculo de Mohr está desenhado.

Agora, devemos usar ele para determinar o que foi pedido pelo exercício.

Primeiro, para descobrirmos as tensões principais usando o círculo de Mohr, precisamos calcular o raio do círculo.

Para tanto, podemos olhar para o desenho do círculo um pouco acima e utilizar o teorema de Pitágoras:

Calculando , encontramos que:

Com isso, podemos calcular as nossas tensões principais e :

Substituindo e , encontramos que:

Agora, vamos observar no nosso círculo de Mohr os ângulos que fazem essas tensões principais aparecerem:

Sendo que aqui, precisamos nos lembrar que:

• Lá no estado de tensões, um ângulo é positivo no sentido anti-horário;
• Então, como desenhamos no nosso círculo de Mohr o eixo apontando para cima, os ângulos no círculo vão ser positivos no sentido horário.

Assim, concluímos que é um ângulo negativo, por estar no sentido anti-horário no círculo de Mohr, enquanto que é um ângulo positivo.

Tendo isso em mente, podemos calcular o valor desses ângulos.

Uma forma de fazer isso é vendo que:

Aí, usando a função da nossa calculadora, e se lembrando de verificar se a calculadora está fornecendo resultados em graus, encontramos que:

O que significa que:

E aí agora, nós sabemos que quando conhecemos um ângulo (nesse caso ), o outro (nesse caso ) pode ser encontrado adicionando ou subtraindo do primeiro.

Dessa forma, temos que:

O que dá:

E assim terminamos o item !

Agora, para resolver o item , nós podemos aproveitar o que calculamos para o item .

Sabemos que a tensão de cisalhamento máxima no plano é sempre igual ao raio do círculo de Mohr, então temos que:

E lá no passo 3, calculamos que , então:

Além disso, sabemos que quando a tensão de cisalhamento no plano é máxima, as tensões normais assumem o valor médio , que já calculamos no passo 2 como:

E assim, em alguns segundos, encontramos as tensões pedidas pelo item .

Mas ainda precisamos encontrar as orientações do elemento que fazem aparecer essas tensões de cisalhamento máximas e normais médias do item .

Para tanto, vamos olhar para os possíveis ângulos no círculo de Mohr que causam essas tensões:

A primeira opção, , está no sentido horário no círculo de Mohr e é portanto positiva (seria negativa caso tivéssemos usado desde o começo um eixo apontando para baixo).

Olhando para o círculo, ainda vemos que ela é maior que o ângulo .

Então, temos que:

Realizando essa soma e dividindo por 2, encontramos que:

Já a segunda opção, :

• é negativa;
• & é “maior” que o ângulo

E no passo passo 4, encontramos que , o que significa que .

Ou seja:

Finalmente, dividindo isso por 2, temos:

Ou seja, o ângulo que podemos usar para rotacionar o nosso elemento e fazer aparecer a tensão de cisalhamento pode ser um ângulo de ou um ângulo de .

E assim finalizamos o nosso exercício!

O que está acontendo?

O exercício nos forneceu um estado plano de tensões, para o qual podemos definir eixos e :

Fazendo isso, conseguimos definir as tensões:

E o que é que o exercício quer?

Basicamente, ele quer que a gente faça uma transformação de tensões.

Ele quer que a gente rotacione o elemento por um ângulo :

Ao fazemos isso, as novas tensões e que vão surgir vão corresponder (ser iguais) às tensões normal e cisalhante no plano , que é o que o exercício quer saber.

O exercício ainda quer que a gente resolve ele usando o Círculo de Mohr.

Então para resolver o exercício...

Devemos usar as tensões , & para desenhar um círculo de Mohr para esse elemento.

Feito isso, vamos rotacionar a reta do círculo de Mohr que diz as tensões no nosso eixo ( e ) por um ângulo , definindo assim as tensões num eixo ( e ).

Em seguida, vamos usar trigonometria (seno, cosseno, etc.) para decifrar os valores de e .

Por fim, esses valores vão corresponder às tensões e no plano pedidas pelo exercício, sendo assim as nossas respostas para o exercício.

Então vamos começar desenhando o nosso círculo de Mohr!

Lembra aí!

Já definimos as , & , então o próximo passo para desenhar o círculo de Mohr é calcular o valor de :

Agora, podemos desenhar os eixos e :

E marcar nele os pontos:

• ;
• & .

Marcados esses pontos, ligamos ele com uma reta e desenhamos o nosso círculo:

Agora, vamos rotacionar a reta do nosso círculo de Mohr usando um ângulo .

Aqui, devemos nos lembrar que:

• Enquanto que o ângulo no estado de tensões é positivo no sentido anti-horário;
• O ângulo no círculo de Mohr é positivo no sentido horário.

(Isso só não ocorre caso a gente opte por desenhar desde o começo o gráfico do Círculo de Mohr com o eixo apontando para baixo.)

Se lembrando disso, percebemos que essa rotação vai ser então uma rotação de no sentido horário:

Aí, enquanto que a reta antiga definia as tensões antigas ( e ) no eixo , a reta nova vai definir as tensões novas ( e ) no eixo rotacionado :

Definidas as tensões e no gráfico, precisamos agora usar trigonometria para encontra-las.

Para tanto, vamos focar no desenho abaixo, montado a partir dos dados do círculo de Mohr acima:

Primeiro, fazendo Pitágoras no triângulo esquerdo, temos:

O que significa que:

Além disso, podemos ver que a tangente do ângulo é:

Aí, colocando esse valor na função da nossa calculadora, encontramos que:

Em seguida, podemos perceber que:

Aí, isolando e substituindo , encontramos que:

Agora, podemos usar seno de para encontrarmos o valor de :

Isolando e substituindo e , encontramos que:

Calculando, isso dá:

Além disso, ainda podemos usar o cosseno de para encontrarmos o valor de :

Aí, isolando e substituindo e , encontramos:

O que dá:

Em seguida, isolando , encontramos que:

E por fim, como no gráfico é negativo, isso significa que:

E pronto!

Nosso exercício está resolvido, e, para fornecermos a nossa resposta, basta fazermos a correspondência das tensões encontradas para o eixo com as tensões no plano :

Como já vimos queremos determinar alguns valores com base no círculo de mohr, e para fazermos isso precismos desenhar o círculo de Mohr.

Sabemos que para fazer esse desenho necessitamos de dois pontos:

O primeiro é o ponto que marca o centro do círculo que é dado por

O segundo é o ponto que marca o fim do raio do círculo de mohr, que é dado por

Como já temos os valores para desenhar o círculo de mohr, vamos fazer os devidos desenhos e dessa forma começar a definir os valores pedidos no enunciado.

Sabemos que

Substituindo teremos que

Desenhando o círculo de mohr

Primeiro desenhamos o raio

Depois desenhamos o círculo de mohr

Agora que temos o círculo de mohr basta irmos definindo os valores pedidos no enunciado, então vamos lá.

Sabemos que as tensões principais Normais são dadas por

Em que só não temos o valor de R

Pode mos definir esse valor facilmente se observamos que o triangulo é retângulo

Usando pitagoras teremos que

Logo o valor de R será

Substituindo na nossa fórmula teremso que

No item B nos é pedido a tensão de cisalhemento máxima, que é o próprio valor de R, ou seja, do raio do círculo de mohr.

Logo o cisalhante máximo é

Antes de substituirmos qualquer valor vamos entender o que cada parte do nosso círculo de mohr representa.

Sabemos que o valor central nós dá o valor de , o valor superior nos dará e o valor inferiro nos dará . Mas perceba que tanto o de cima quando o de baixo nós dará o valor de .

Agora que já definimos o que cada valor representa, basta tomar cuidado e definir facilmente cada um dos valores que nos é pedido.

Vamos analisar o triangulo que temos a partir do círculo de mohr.

Definindo os valores de cada parte teremos, primeiro para parte superior do triangulo

Em que podemos definir que

Analisando agora o triangulo abaixo teremos que

Em que podemos definir que

Ou seja, com o valor da tensão em y também confirmamos o valor do cisalhente.

Agora que já temos todos os valores, basta apenas desenhar o elemento, tomando cuidado com os sinais dos vetores.

Como no exercício nos foi dado o valor das tensões admissíveis, precisamos determinar as tensões máximas que podem surgir nesse elemento, para isso dividiremos essa situação em duas partes.

Na primeira parte usaremos o círculo de Mohr para definirmos as tensões máximas existentes nesse elemnto.

Na segunda parte definiremos em que planos essas tensões máximas agem caso aja rompimento, se não houver rompimento não haverá necessidade de calcularmos os planos em que elas correm.

Como já vimos queremos determinar alguns valores com base no círculo de mohr, e para fazermos isso precismos desenhar o círculo de Mohr.

Sabemos que para fazer esse desenho necessitamos de dois pontos:

O primeiro é o ponto que marca o centro do círculo que é dado por

O segundo é o ponto que marca o fim do raio do círculo de mohr, que é dado por

Como já temos os valores para desenhar o círculo de mohr, vamos fazer os devidos desenhos e dessa forma começar a definir os valores pedidos no enunciado.

Sabemos que

Substituindo teremos que

Desenhando o círculo de mohr teremos que

Como já temos o valor de basta apenas determinarmos o valor de R usando o triangulo retângulo da figura.

Fazendo essa conta teremos que

Logo

Agora precisamos ver todas as tensões máximas.

Primeiro vamos ver as normais

Como a resistência admissível para tensões normais é de 52Mpa, nosso material não romperá por tensões normais já que o máximo alcançado é de 50 Mpa.

Com relação a tensão cisalhante sabemos que o máximo alcançado é de exatamente o valor do raio do nosso círculo, logo o valor de .

Como a resistência do nosso material a tensões cisalhantes é de 45Mpa, ele romperá devido a tensão cislhante máxima. Mas em que plano?

Sabemos que a fórmula que nos dá o plano em que ocorrem as tensões principais é dado por

Substituindo os valores teremos que

O que é importante ressaltar aqui é que esses ângulos representam os planos em que ocorrem as tensões principais, e não a cisalhante, para descobrir a cisalhante é necessário somar e subtrair 45°

Logo os ângulos serão:

Ou

Como já vimos queremos determinar alguns valores com base no círculo de mohr, e para fazermos isso precismos desenhar o círculo de Mohr.

Sabemos que para fazer esse desenho necessitamos de dois pontos:

O primeiro é o ponto que marca o centro do círculo que é dado por

O segundo é o ponto que marca o fim do raio do círculo de mohr, que é dado por

Como já temos os valores para desenhar o círculo de mohr, vamos fazer os devidos desenhos e dessa forma começar a definir os valores pedidos no enunciado.

Sabemos que

Substituindo teremos que

Desenhando o círculo de Mohr teremos que

Olhando o nosso triangulo teremos que

Fazendo pitagora teresmo que

As nossas tensões principais são dadas por

Em que

E nesse caso como queremos saber o limite do rompimento, usaremos

Substituindo tudo teremos que

Isolando a raiz, teremos que

Elevando os valores de ambos os lados ao quadrado teremos que

Isolando cada letra de um lado teremos que

Podemos simplificar essa solução escrevendo a solução como

Como já vimos queremos determinar alguns valores com base no círculo de mohr, e para fazermos isso precisamos desenhar o círculo de Mohr.

Sabemos que para fazer esse desenho necessitamos de dois pontos:

O primeiro é o ponto que marca o centro do círculo que é dado por

O segundo é o ponto que marca o fim do raio do círculo de mohr, que é dado por

Como já temos os valores para desenhar o círculo de mohr, vamos fazer os devidos desenhos e dessa forma começar a definir os valores pedidos no enunciado.

Sabemos que