Tensões Principais
Produzido por Pablo RicardoTeoria
Introdução
Nos dois últimos tópicos, nós vimos:
- Como definir um estado plano de tensões, como o da imagem abaixo:
- E como utilizar a transformação de tensões para descobrir as tensões , e nesse elemento caso ele fosse rotacionado por um ângulo :
E beleza...
Pode ser muito legal ficar desenhando esses quadradinhos com essas setinhas...
Mas na real que a gente ainda não viu a aplicação prática de tudo isso!
Felizmente, isso vai mudar hoje.
A partir de agora, vamos deixar de sermos aprendizes e vamos nos tornar mestres:
Então vamos lá!
Problema de Exemplo
Vamos dizer que você é um(a) engenheiro(a) aeronáutico(a) e descobriu que, no ponto mais crítico do seu avião, ele está submetido a um estado de tensões:
Como na imagem abaixo:
Além disso, você sabe também que o material dessa parte do avião é um material que falha sempre por causa da tensão normal .
Então, para saber se esse ponto vai falhar, você quer descobrir qual é a tensão normal de maior intensidade nesse ponto.
De início, você acha que a tensão normal de maior intensidade nesse ponto é a de .
Mas aí, você recebe uma mensagem do além.
E aí você percebe:
Pera aí.
não é necessariamente a tensão normal de maior intensidade.
Se eu rotacionar meu elemento, eu posso encontrar pelas equações da transformação de tensões outras tensões normais ou que podem ter uma intensidade ainda maior.
Então...
Qual é realmente a tensão normal de maior intensidade nesse ponto?
Como podemos encontrar ela?
Tensões Principais
Justamente para responder essas perguntas, um pessoal decidiu estudar as equações da transformação de tensões.
Eles pensaram:
- Girando o elemento, nós conseguimos converter tensão cisalhante em tensões normais e vice-versa.
- Então se a gente conseguir zerar a tensão cisalhante, vamos ter uma situação com o máximo de tensões normais.
E foi isso que eles fizeram.
Primeiro, chamaram essas tensões normais “máximas” de tensões principais.
Depois, igualaram a fórmula de a zero:
...dividiram tudo por e isolaram a que apareceu.
Assim, descobriram que os ângulos “” que zeram a tensão cisalhante e fazem aparecer as tensões principais são dados pela fórmula:
Fórmula das Tensões Principais
Aí, colocando esses ângulos na fórmula de e manipulando ela bem muito, encontraram uma fórmula para as tensões principais:
Sendo que:
- é chamada de “tensão principal máxima” e é chamada de “tensão principal mínima”;
- E a diferença entre as fórmulas de e está em ter, respectivamente, o sinal de positivo () ou negativo () entre o termo fora da raíz e a raíz.
Além disso...
Para ficar mais fácil de decorar essa fórmula, algumas pessoas chamam o primeiro termo dela de “”:
E o segundo termo de “”:
Encontrando assim que:
Exemplo de Aplicação
Para o estado de tensões do nosso avião, por exemplo, podemos calcular os valores de , , e :
E assim, vemos como a tensão normal de maior intensidade naquele ponto do avião é uma tensão de compressão de .
Beleza!
Mas e se eu quiser saber qual é a orientação que causa essas tensões principais?
Aí eu posso recorrer à fórmula que vimos anteriormente dos ângulos que fazem essas tensões aparecer:
Mas e esse ângulo , será que ele é o que causa a tensão principal ou a tensão principal ?
Só há um jeito de descobrir: testando!
Pegamos a fórmula de e substituímos esse ângulo:
Fazendo isso, vamos como esse ângulo é responsável pela tensão principal , então chamamos ele de “”:
E o ângulo que causa a outra tensão principal ?
Aí é só adicionar ou retirar do primeiro, como foi feito a seguir:
E pronto!
Esses ângulos e são as orientações que causam as tensões principais e e zeram a tensão de cisalhamento:
Tensão de Cisalhamento Máxima
E se o material do nosso avião não fosse um material que falhasse sempre por tensão normal , mas sim um material que falha sempre por tensão de cisalhamento ?
Nesse caso...
Lembrando que girando o elemento, nós conseguimos converter tensão cisalhante em tensões normais e vice-versa...
Percebemos que deve existir uma orientação do elemento em que a tensão de cisalhamento tem o seu valor máximo.
E essa orientação existe mesmo!
Ela pode ser obtida somando OU subtraindo de qualquer um dos ângulos .
Por exemplo:
Subtraindo de , encontramos que um ângulo “” que faz com que tenha seu valor máximo é:
E como ficam as tensões nessa orientação?
Então...
Nessa orientação, a tensão de cisalhamento vai ser máxima e pode ser calculada de uma das duas formas abaixo:
Sendo que se você substituir e na primeira fórmula, você vai acabar encontrando a segunda.
Ou seja, as duas fórmulas dizem a mesma coisa.
Já as duas tensões normais e nessa orientação vão assumir o valor , que pode ser calculado a partir das tensões e OU a partir das tensões principais.
Ou seja:
Para o ponto do nosso avião, por exemplo:
Como já calculamos e , podemos usar e para encontrarmos que:
Dessa forma, o desenho do nosso ponto nessa orientação fica assim:
Finalização
Agora é com você!
Você pode treinar seus conhecimentos fazendo alguns exercícios resolvidos a seguir.
Como você pode também aproveitar que você está manjando essa matéria para passar os seus conhecimentos adiante para um(a) outro(a) jovem aprendiz: