Exercícios Resolvidos de Método dos deslocamentos no caso com deslocabilidade externa

Ver Teoria

Enunciado

Para a estrutura abaixo, determine o deslocamento horizontal do ponto B do pórtico dado.

u s e   E J = 10 5

Passo 1

Como já sabemos o nosso primeiro passo deve ser obrigatoriamente determinar o número de deslocabilidades da nossa estrutura, fazendo isso teremos que:

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que os pontos B e C são rótulas, logo, também não possuem deslocabilidades internas.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e D são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder subir ou descer devido o engaste em A, pode ir pra frente ou pra trás, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso precisamos travar esse movimento , especificamente com um apoio do primeiro gênero, dessa maneira teremos que:
    • Como o ponto B acabou de se tornar indeslocavel, por consequência, o ponto C se torna indeslocavel também, e com isso passamos a ter apenas uma deslocabilidade na nossa estrutura.

Passo 2

Como só temos uma deslocabilidade, e essa deslocabilidade é um apoio do primeiro gênero, precisamos detemirnar a reação que age nele e essa reação será o valor de β 10 . Mas perceba que a carga de 4 0   k N / m que age na vertical, não irá produzir reações de apoio na horizontal, então não precisamos nos preocupar com ela.

Em contra partida a carga distribuída de 15   k N / m , irá produzir um momento no nosso apoio em A, e perceba que essa barra é engastada em A mas rotulada em B, ou seja, é do tipo engastada e rotulada, e sendo assim, a nossa equação será:

Aplicando ela na nossa estrutura teremos que:

Mas lembre-se que o que importa pra gente é a reação de apoio, e não necessariamente o momento, apesar de usarmos ele para determinação da reação de apoio. Dessa maneira teremos que:

Perceba que como quem age no nosso apoio fictício do primeiro gênero em 1 é o H B iremos usar ele para determinar a reação do nosso apoio.

Um macete legal para lembrarmos é que o que definimos para H B (modulo, sentido e direção) já vai valer para a reação que age em 1. Isso é para não precisar ficar transferindo carga, ou ficar pensando se tem que inverter a direção ou o sinal.

Absolutamente não, se H B der pra frente a reação é pra frente. Se der negativo, a reação será negativa, gravando assim fica mais fácil de lembrar, e com isso o nosso cálculo será:

6 H B + 1 5   .   6   .     3 - 67,5 = 0

H B = - 33,75   k N

Ou seja, o nosso valor de β 10 será negativo, mas se você fizer o passo completo vai ver que faz sentido. Porque imagine se invertermos as reações, teríamos o seguinte:

Perceba que se invertermos os vetores, o sinal volta a ser positivo, porém veja que o sentido é para trás, e como vimos na teoria, para determinação de rigidez, consideramos pra frente positivo e pra trás negativo, com isso, o nosso valor de β 10 será:

β 10 = - 202,5

Passo 3

Agora só precisamos definir β 1 1 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2   e   3 l 3 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 6 2 = 0,083

3 l 3 2 = 3 3 2 = 0,333

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações horizontais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

6 H B - 0,0 83 = 0

H B = 0,0138

Para H c teremos que:

3 H C - 0 , 333 = 0

H C = 0 , 111

β 11 = H B + H c = 0,0138 + 0,111 = 0,1248

Passo 4

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 1 0 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo teremos que:

- 33,75 + 0,1248 ∆ 1 = 0

∆ 1 = 270,43

Mas calma, não se assuste, esse ainda não é o deslocamento horizontal do nosso ponto B. lembre-se que dividimos todos os fatores por EJ, ou seja, se quisermos saber o valor real, precisamos repor isso que tirarmos, dessa forma teremos que:

∆ 1 = ∆ 1 . 1 E J = 270,43   . 1 10 5 = 2,71   .   10 - 3 m = 2,71   m m

Resposta

∆ 1 = ∆ B = 2,71   m m