Exercícios Resolvidos de Método dos deslocamentos no caso com deslocabilidade externa

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Enunciado

Para a estrutura abaixo, determine o deslocamento vertical do ponto B da estrutura abaixo.

u s e   E J = 10 5

Passo 1

Como já sabemos o nosso primeiro passo deve ser obrigatoriamente determinar o número de deslocabilidades da nossa estrutura, fazendo isso teremos que:

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e C são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que o ponto B é uma rótula, logo, também não possui deslocabilidade interna.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e C são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder ir para esquerda ou direita devido o engaste em A e B, pode ir pra cima ou para baixo, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso precisamos travar esse movimento , especificamente com um apoio do primeiro gênero, dessa maneira teremos que:

Passo 2

Como só temos uma deslocabilidade, e essa deslocabilidade é um apoio do primeiro gênero, precisamos detemirnar a reação que age nele e essa reação será o valor de β 10 .

As cargas de 10 kN que irão causar as reações de apoio, dessa maneira teremos que usar a seguinte fórmula para o caso de carga concentrada e para condições de contorno do tipo engaste e apoio.

Precisamos analisar a contribuição de ambos os lados da viga:

Mas lembre-se que o que importa pra gente é a reação de apoio, e não necessariamente o momento, apesar de usarmos ele para determinação da reação de apoio. Dessa maneira teremos que:

Perceba que como quem age no nosso apoio fictício do primeiro gênero em 1 é o H B iremos usar ele para determinar a reação do nosso apoio.

Um macete legal para lembrarmos é que o que definimos para H B (modulo, sentido e direção) já vai valer para a reação que age em 1. Isso é para não precisar ficar transferindo carga, ou ficar pensando se tem que inverter a direção ou o sinal.

Absolutamente não, se H B der pra frente a reação é pra frente, se for pra baixo a reação é pra baixo, e assim em diante. Se der negativo, a reação será negativa, gravando assim fica mais fácil de lembrar, e com isso o nosso cálculo será:

3 H B + 10   .   1,5 - 5,625 = 0

H B = - 3,125   k N

Ou seja, o nosso valor de β 10 será negativo.

β 10 = 2   .   - 3,125 = - 6,25

Passo 3

Agora só precisamos definir β 11 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2 =   3 l 2 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 l 2 2 = 3 3 2 = 0,333

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações verticais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

3 H B - 0,333 = 0

H B = 0,111

Como temos dois H B teremos no final que:

β 11 = 2 H B = 0,222

Passo 4

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo teremos que:

- 6,25 + 0,222 ∆ 1 = 0

∆ 1 = 14,1  

Mas calma, não se assuste, esse ainda não é o deslocamento vertical do nosso ponto B. lembre-se que dividimos todos os fatores por EJ, ou seja, se quisermos saber o valor real, precisamos repor isso que tirarmos, dessa forma teremos que:

∆ 1 = ∆ 1 . 1 E J = 28,2   . 1 10 5 = 0,282   .   10 - 3 m = 0,282   m m

Resposta

∆ 1 = ∆ B = 0,282   m m