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Exercícios Resolvidos de Método dos deslocamentos no caso com deslocabilidade externa

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Exercício 31245

Enunciado

Para a estrutura abaixo, determine o diagrama de momentos fletores.

u s e   E J = 10 5

Passo 1

Como já sabemos o nosso primeiro passo deve ser obrigatoriamente determinar o número de deslocabilidades da nossa estrutura, ms nessa estrutura temos que tomar um cuidado devido a barra de inércia infinita:

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Agora que vem o diferencial. Os pontos C e B estão nas extremidades da barra com inércia infinita. SEMPRE que tivermos uma barra com inércia infinita, ela obrigatoriamente tornará os nós da sua extremidade indeslocaveis com relação a rotação. Ou seja, os nós C e B não podem rotacionar porque a barra CB possui uma inércia tão grande que já vai impedir isso. Ou seja, não temos deslocabilidade interna.

  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Os pontos A e D são engastes, logo são considerados indeslocaveis.
    • O ponto C também não pode se deslocar na vertical, porém pode claramente se deslocar na horizontal, por isso devemos travar ele nesse sentido, com o nosso velho amigo apoio do primeiro gênero.

    • Com o ponto C travado podemos ver que passamos a ter o ponto B indeslocavel, logo teremos apenas 1 deslocabilidade externa mesmo.

Passo 2

Sabendo as deslocabilidades e colocando os seus respectivos travamentos, agora já podemos começar a determinar as deformações do nosso problema.

Começando por β 10 , teremos que:

  • β 10

    • Para determinação dele devemos olhar o nosso carregamento.

    Perceba que precisamos determinar a reação de apoio, e para determinar a reação de apoio precisamos determinar os momentos. A carga age na barra AB. Sabemos que o ponto A é um engaste, e que o ponto B é a extremidade de uma barra com inércia infinita, ou seja, também é um engaste. Sendo assim teremos que a fórmula a ser usada é:

    Porém como o que precisamos são as reações de apoio em 1, teremos que:

    Precisamos da reação que está na mesma direção do apoio, ou seja H B , e vale lembrar que o sentido da força já irá nos dar o sentido da reação, sendo assim teremos que:

    + 10 H B + 12,5 - 12,5 - 10   .     5 = 0

    H B = 5

    Mas perceba que a força H B deu para traz, e na nossa perspectiva de sinais, sempre que ela da para trás, para a rigidez do ponto, consideramos ela negativa, sendo assim teremos que:

    β 10 = - 5

    Os momentos nesse caso serão:

    Passo 3

    Agora que definimos as rigidezes do sistema zero, precisamos determinar nos sistemas com a deformação de cada um dos travamentos, sendo assim teremos que:

  • β 11  

Para determinar o valor β 11 é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 1.

Como temos que deslocar o nosso apoio em 1, e sabemos que todos os nossos nós são engastes, usaremos a seguinte fórmula:

Colocando o deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Usando o fator de rigidez relativa teremos que:

1 E J   e   ρ = 1

Como todos os comprimentos são iguais teremos que:

6 L 2 = 6 10 2 = 0,06

Veja que somente as barras AB e DC produziram reações na horizontal, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a elas, sendo assim teremos que:

- 10 H B + 0,06 + 0,06 = 0

H B = 0,012

- 10 H C + 0,06 + 0,06 = 0

H C = 0,012

E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se H C e H B   estão pra frente, e na mesma direção do apoio 1, então a reação em 1 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de   H C + H B . Sendo assim teremos que:

β 11 = H A + H B = 0,012 + 0,012 = 0,024

Passo 3

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo teremos que:

- 5 + 0,024 ∆ 1 = 0

∆ 1 = 208,33  

Para determinação dos momentos precisamos do valor de momento fletor em cada ponto de cada sistema que analisamos, ou seja:

Como já determinamos o valorer de ∆ 1 basta determinarmos os momentos usando a seguinte fórmula:

M = M 0 + ∆ 1 M 1

Substituindo teremos que:

M = M 0 + 208,33 M 1

Calculando os momentos teremos que:

M A = 12,5 + 208,33   .     0,06 = 25   k N m

M B = - 12,5 + 208,33   .     0,06 = 0   k N m

M C = 0 + 208,33   .     0,06 = + 12,5   k N m

M D = 0 + 208,33   .     0,06 = + 12,5   k N m

Por fim temos que lembrar que nos temos uma barra com uma força concentrada no meio da barra, nesse caso precisamos fazer um diagrama de momentos considerando a barra biapoiada, dessa maneira teremos que:

Perceba que na barra AB ainda usamos o conceito de momento triangular para barras com carga concentrada.

Resposta