Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial .
Encontre o deslocamento para a posição inicial
Passo 1
Primeiro, precisamos montar o problema. Temos a equação de onda:
A posição inicial
Como as extremidades são fixas, temos:
Como a velocidade inicial é zero:
Passo 2
Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na equação de onda, temos:
Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Temos também
Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.
Precisamos agora achar e , para encontrar .
Passo 3
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em ´:
Bom, isso é um problema de Diriclhet homogêneo, não é? Beleza, já mencionamos a solução desse problema na teoria desse capítulo, agora vamos resolver passo a passo.
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Certo, agora vamos resolver o problema em .
Passo 4
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Usando , temos:
Fazendo
Temos então:
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Sabemos que uma combinação linear dessas soluções também satisfazem o problema, então vamos escrever:
Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de ’s.
Beleza, agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado: . Fazendo , temos:
Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Onde é dada por:
Certo, precisamos dividir essa integral em duas:
Integrando por partes, temos:
Certo, agora vamos substituir isso na nossa série: