Encontre o deslocamento de uma corda elástica de comprimento fixa em e solta em , colocada em movimento sem velocidade inicial a partir da sua posição inicial , onde é uma função dada.

Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:

Aplicando isso na equação de onda, temos:

Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:

Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

Temos também

Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.

Precisamos agora achar e , para encontrar .

Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em ´:

Ok, esse problema não é nenhum conhecido, temos condições mistas, não é? Sem problemas, vamos resolver passo a passo isso aqui!

A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:

Como não sabemos o valore de , temos que analisar o problema para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.

Caso 1: , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:

Isso nos dá

Aqui temos o mesmo raciocínio:

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: , o que nos dá . As soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno: e

Bom, temos novamente apenas a solução trivial, não é? Vamos para o próximo caso agora!

Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Substituindo

Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:

Isso nos dá

Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.

Isso ocorre quando:

Substituindo, temos a seguinte solução

Certo, agora vamos resolver o problema em .

Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:

Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:

As soluções da EDO são do tipo:

Usando , temos:

Fazendo

Temos então:

Então, podemos escrever o seguinte:

Escrever como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Sabemos que uma combinação linear dessas soluções também satisfaz o problema, então vamos escrever:

Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de ’s.

Beleza, agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado: . Fazendo , temos:

Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que: