Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades são mantidas fixas no mesmo nível horizontal de modo que o eixo esteja ao longo da corda. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com velocidade inicial dada por

Considere a razão da tensão pela densidade de massa da corda como sendo constante igual a ().

1. Encontre o deslocamento vertical usando a expressão geral da solução da equação de onda partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial não nula.
2. Mostre que o deslocamento é uma função periódica de período na variável .

Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:

Aplicando isso na equação de onda, temos:

Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:

Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

Temos também

Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.

Precisamos agora achar e , para encontrar .

Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em :

Temos a seguinte equação característica:

Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno:

Isso nos dá

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno:

Isso nos dá

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Substituindo

Agora vamos usar as condições de contorno:

Isso nos dá

Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:

As soluções do 3º caso são então do tipo:

Certo, agora vamos resolver o problema em .

Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:

Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:

As soluções da EDO são do tipo:

Usando , temos:

Fazendo

Temos então:

Então, podemos escrever o seguinte:

Escrever como série e achar os coeficientes da série

Temos que

Agora vamos usar a condição que faltou:.

Fazendo :

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está nos colchetes! O que depende apenas de (não de ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:

Onde

Agora vamos resolver a integral!

Agora vamos fazer a integração por partes:

Pronto, esse negócio enorme aí é o ! Agora é só substituir na série

Letra b)

Bom, para verificar que uma função é periódica, temos que mostrar que ela se repete, não é? Se o período da função (segundo o enunciado) é , isso quer dizer que de em seu valor se repete, vamos mostrar isso.

Vamos ignorar a variável porque a questão trata apenas na periodicidade em , ok? Então:

Repara agora que os dois lados da equação são exatamente iguais, tirando o seno no tempo! Então para , precisamos que:

E realmente repare que somar no ângulo significa dar voltas completas no círculo trigonométrico e voltar pro mesmo lugar! Isso porque o seno é uma função periódica. Então podemos tirar esse no seno e as equações ficam iguais! Ta provado 😉