Exercícios Resolvidos de Modelos em variáveis de estado

Ver Teoria

Enunciado

Usar modelo em variáveis de estado para descrever o modelo do circuito abaixo. Utilize a corrente e a tensão no capacitor como variáveis de estado.

Passo 1

Vamos começar aplicando a lei das malhas no nosso circuito. Como só temos uma mlaha no circuito, só teremos uma equação:

V i n = R i + L d i d t + V c                     ( 1 )

Além disso, vamos estabelecer uma relação entre V C e a corrente i :

V C = ∫ i   d t                         ( 2 )

Passo 2

Para escrever a EDO em um modelo de estado, precisamos escrever a equação diferencial do vetor de estado que tem a seguinte forma:

x ˙ = A x + B u

O exercício já determinou qual será o nosso vetor de variáveis de estado:

x = x 1 , x 2 = ( i , V C )

Além disso, podemos assumir que a nossa entrada u será a tensão de entrada do sistema:

u = V i n

Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para as derivadas das nossas variáveis de estado.

Sunstituindo as variáveis de estado nas expressões ( 1 ) e ( 2 ) , teremos:

u = R x 1 + L d x 1 d t + x 2                 ( 3 )

x 2 = ∫ x 1   d t                     ( 4 )

Rearranjando ( 3 ) :

d x 1 d t = - R L x 1 - 1 L x 2 + 1 L u

Derivando dos dois lados ( 4 ) teremos:

d x 2 d t = 1 C x 1

Passo 3

Como já temos o nosso vetor x ˙ , já podemos escrever a equação diferencial do vetor de estado:

x ˙ = - R L - 1 L 1 C 0 x + 1 L 0 u

Substituindo os valores do problema:

x ˙ = - 40 - 10 1000 0 x + 10 0 u

Resposta

x ˙ = - 40 - 10 1000 0 x + 10 0 u