Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias
Produzido por Jorge Alberto NascimentoTeoria
O que é?
Você deve tá se perguntando pra que fazer um intervalo de confiança pra diferença entre duas médias. Como se já não bastasse fazer pra uma, qual seria o sentido disso?
Muitas vezes, a gente tem interesse em comparar duas populações em relação a média de alguma coisa que elas tenham em comum.
Por exemplo: Suponha que sua mãe costuma usar um certo tipo de produto de limpeza da marca A, mas o mesmo produto na marca B tem um preço melhor. Se a diferença de rendimento entre eles não for muito grande, talvez seja melhor comprar o da marca B, concorda?
Viu? Essa é uma boa utilização para esse IC. Poderíamos construir um intervalo de confiança para a diferença dos rendimentos médios dos produtos das duas marcas.
O procedimento pra construir o IC continua o mesmo, mesma ideia:
- Vamos querer construir um IC de de confiança para :
O problema será só determinar o valor do , que vai depender de alguns fatores:
- Se os desvios padrões são conhecidos;
- Caso sejam desconhecidos, se são iguais.
Vamos ver todos os casos possíveis que podem cruzar o nosso caminho!
IC com DP’s Conhecidos
Nesse caso, nós temos duas populações diferentes e seus respectivos e , conhecidos por nós. Nosso nesse caso vai ser calculado por:
Onde e são o número de elementos de cada amostra.
Vamos ver melhor como fica num exemplo.
Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:
Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.
Passo 1) Calcular e .
Para calcular nosso , precisamos procurar o na tabela, lembrando que :
Passo 2) Calcular .
Então...
Passo 3) Construir IC.
Também precisamos calcular a diferença entre as médias amostrais:
E agora já podemos construir o IC:
O que significa todo esse IC negativo? Faz ideia? Lembra que fizemos o IC para a diferença ?
Então achar um resultado negativo quer dizer que estamos garantindo a seguinte relação entre as médias populacionais, a um certo nível de confiança:
Ou seja...
Então é muuuito provável, por esse IC que achamos, que a média populacional de seja menor que a de ! Então, supondo que eu esteja trantando do rendimento médio dos dois produtos de limpeza lá. Eu poderia concluir, por exemplo, que um produto tem rendimento médio menor que o do outro.
Foi? Vamos pro próximo caso então!
IC com DP’s Desconhecidos
1º caso – Desconhecidos mas iguais
Para o caso de não conhecermos os desvios padrões das duas populações, nós teremos duas amostras, uma de cada população e iremos conhecer o desvio padrão amostral de cada uma delas e . Para esse caso, vamos ter também a informação de que e são iguais, apesar de serem desconhecidos. Ou seja, .
O seguiria a seguinte fórmula:
Como já era de se esperar, vamos utilizar a distribuição , já que não conhecemos os valores dos desvios padrões, e .
Falta só dizer qual será o número de graus de liberdade nesse caso com duas populações:
Será:
Tá, e aquele ali?
Bom, não se assuste, é uma fórmula bem grande. Ele serve como um estimador do desvio padrão da combinação desses dois desvios padrões.
Vamos aplicar isso num exemplo:
Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:
Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.
Passo 1) Calcular e .
Temos que lembrar os graus de liberdade:
Olhando na tabela, achamos:
Passo 2) Calcular .
Passo 3) Calcular .
Passo 4) Completar o .
Que tipo de conclusões eu posso tomar desse tipo de ? Faz alguma ideia?
Como todos os resultados desse IC são positivos, podemos concluir que, a um certo nível de confiança:
Ou seja...
Novamente, nossa subtração é nessa ordem porque nosso intervalo de confiança foi para , e não para !
Nesse exemplo então podemos dizer que é muuuuito provável nossa média populacional de ser maior que a de . Então, supondo que eu esteja trantando do rendimento médio dos dois produtos de limpeza lá. Eu poderia concluir, por exemplo, que um produto tem rendimento médio maior que o do outro.
2º caso – Desconhecidos e desiguais
Agora vamos ver como seria quando não conhecermos os desvios padrões das duas populações, e ainda iremos conhecer o desvio padrão amostral de cada uma delas e . Para esse caso, vamos ter também a informação de que e são desiguais, além de serem desconhecidos. Ou seja, .
Nosso vai ter essa carinha:
Como agora nossos desvios padrões populacionais são diferentes, não podemos considerar um só, tipo aquele nosso do caso passado, mas sim os dois, e , separadamente!
Bem parecido com o último caso, né? Pena que vai ter uma diferencinha brutal... Agora, quando formos calcular o grau de liberdade para procurar o na tabela T-Student, se liga na fórmula que vamos ter que usar:
Sempre arredondando o valor pro número inteiro imediatamente interior! Vamos ver num exemplo?
Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:
Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.
Passo 1) Calcular e .
Temos que lembrar os graus de liberdade:
Olhando na tabela, achamos:
Passo 2) Calcular .
Passo 4) Completar o .
Fechamos nossos casos! Uma curiosidade agora pra fechar nosso tópico:
- Se o zero estiver contido no meu intervalo, quer dizer que para o nível de confiança usado, a gente não pode afirmar que existe de fato uma diferença entre as médias, já que a diferença deles pode ser zero. Mas se o zero não fizer parte do IC, a gente pode dizer que há sim uma diferença!
Entendeu a ideia? Isso não é muito importante não, rs. É que eu acho legal tentar interpretar o que a gente tá fazendo.
Vamos repetir isso algumas vezes nos exercícios. E só por que tô muuuito orgulhosa de vc ter chegado até aqui, fica com esse meme de parabenização e encorajamento: