Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias
Teoria
O que é?
Você deve tá se perguntando pra que fazer um intervalo de confiança pra diferença entre duas médias. Como se já não bastasse fazer pra uma, qual seria o sentido disso?
Muitas vezes, a gente tem interesse em comparar duas populações em relação a média de alguma coisa que elas tenham em comum.
Por exemplo: Suponha que sua mãe costuma usar um certo tipo de produto de limpeza da marca A, mas o mesmo produto na marca B tem um preço melhor. Se a diferença de rendimento entre eles não for muito grande, talvez seja melhor comprar o da marca B, concorda?
Viu? Essa é uma boa utilização para esse IC. Poderíamos construir um intervalo de confiança para a diferença dos rendimentos médios dos produtos das duas marcas.
O procedimento pra construir o IC continua o mesmo, mesma ideia:
- Vamos querer construir um IC de de confiança para :
O problema será só determinar o valor do , que vai depender de alguns fatores:
- Se os desvios padrões são conhecidos;
- Caso sejam desconhecidos, se são iguais.
Vamos ver todos os casos possíveis que podem cruzar o nosso caminho!
IC com DP’s Conhecidos
Nesse caso, nós temos duas populações diferentes e seus respectivos e , conhecidos por nós. Nosso nesse caso vai ser calculado por:
Onde e são o número de elementos de cada amostra.
Vamos ver melhor como fica num exemplo.
Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:
Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.
Passo 1) Calcular e .
Para calcular nosso , precisamos procurar o na tabela, lembrando que :
Passo 2) Calcular .
Então...
Passo 3) Construir IC.
Também precisamos calcular a diferença entre as médias amostrais:
E agora já podemos construir o IC:
O que significa todo esse IC negativo? Faz ideia? Lembra que fizemos o IC para a diferença ?
Então achar um resultado negativo quer dizer que estamos garantindo a seguinte relação entre as médias populacionais, a um certo nível de confiança:
Ou seja...
Então é muuuito provável, por esse IC que achamos, que a média populacional de seja menor que a de ! Então, supondo que eu esteja trantando do rendimento médio dos dois produtos de limpeza lá. Eu poderia concluir, por exemplo, que um produto tem rendimento médio menor que o do outro.
Foi? Vamos pro próximo caso então!
IC com DP’s Desconhecidos
1º caso – Desconhecidos mas iguais
Para o caso de não conhecermos os desvios padrões das duas populações, nós teremos duas amostras, uma de cada população e iremos conhecer o desvio padrão amostral de cada uma delas e . Para esse caso, vamos ter também a informação de que e são iguais, apesar de serem desconhecidos. Ou seja, .
O seguiria a seguinte fórmula:
Como já era de se esperar, vamos utilizar a distribuição , já que não conhecemos os valores dos desvios padrões, e .
Falta só dizer qual será o número de graus de liberdade nesse caso com duas populações:
Será:
Tá, e aquele ali?
Bom, não se assuste, é uma fórmula bem grande. Ele serve como um estimador do desvio padrão da combinação desses dois desvios padrões.
Vamos aplicar isso num exemplo:
Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:
Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.
Passo 1) Calcular e .
Temos que lembrar os graus de liberdade:
Olhando na tabela, achamos:
Passo 2) Calcular .
Passo 3) Calcular .
Passo 4) Completar o .
Que tipo de conclusões eu posso tomar desse tipo de ? Faz alguma ideia?
Como todos os resultados desse IC são positivos, podemos concluir que, a um certo nível de confiança:
Ou seja...
Novamente, nossa subtração é nessa ordem porque nosso intervalo de confiança foi para , e não para !
Nesse exemplo então podemos dizer que é muuuuito provável nossa média populacional de ser maior que a de . Então, supondo que eu esteja trantando do rendimento médio dos dois produtos de limpeza lá. Eu poderia concluir, por exemplo, que um produto tem rendimento médio maior que o do outro.
2º caso – Desconhecidos e desiguais
Agora vamos ver como seria quando não conhecermos os desvios padrões das duas populações, e ainda iremos conhecer o desvio padrão amostral de cada uma delas e . Para esse caso, vamos ter também a informação de que e são desiguais, além de serem desconhecidos. Ou seja, .
Nosso vai ter essa carinha:
Como agora nossos desvios padrões populacionais são diferentes, não podemos considerar um só, tipo aquele nosso do caso passado, mas sim os dois, e , separadamente!
Bem parecido com o último caso, né? Pena que vai ter uma diferencinha brutal... Agora, quando formos calcular o grau de liberdade para procurar o na tabela T-Student, se liga na fórmula que vamos ter que usar:
Sempre arredondando o valor pro número inteiro imediatamente interior! Vamos ver num exemplo?
Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:
Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.
Passo 1) Calcular e .
Temos que lembrar os graus de liberdade:
Olhando na tabela, achamos:
Passo 2) Calcular .
Passo 4) Completar o .
Fechamos nossos casos! Uma curiosidade agora pra fechar nosso tópico:
- Se o zero estiver contido no meu intervalo, quer dizer que para o nível de confiança usado, a gente não pode afirmar que existe de fato uma diferença entre as médias, já que a diferença deles pode ser zero. Mas se o zero não fizer parte do IC, a gente pode dizer que há sim uma diferença!
Entendeu a ideia? Isso não é muito importante não, rs. É que eu acho legal tentar interpretar o que a gente tá fazendo.
Vamos repetir isso algumas vezes nos exercícios. E só por que tô muuuito orgulhosa de vc ter chegado até aqui, fica com esse meme de parabenização e encorajamento:
IC com DP’s Desconhecidos
1º caso – Desconhecidos mas iguais
2º caso – Desconhecidos e desiguais
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUC – 2014.1 – P3 -Intervalo de Confiança – Diferença entre Médias
Estuda-se um certo processo químico com o objetivo de tentar aumentar a produção de um certo composto. Atualmente usa-se na produção um determinado tipo de catalisador , e um outro tipo de catalisador é aceitável.
Faz-se uma experiência com tentativas para o catalisador e tentativas para o catalisador .
As médias e os desvios padrões amostrais são:
Pede-se:
Encontre o intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois catalisadores ao nível de confiança de . Pelo resultado pode-se afirmar que a média do catalisador é estatisticamente menor do que a média do catalisador ?
Passo 1
Questão clássica de intervalo de confiança para diferença entre médias...
Temos dois catalisadores e temos os dados de amostras de cada catalisador.
e são os números de elementos de cada amostra.
Nosso intervalo de confiança vai ter esse formato aqui óh:
Com:
E:
Passo 2
Primeira coisa a fazer é calcular esse aí, porque a gente já tem tudo que precisa.
Joga na calculadora aí, não esquece de tirar raiz quadrada ein (eu sempre esqueço).
Passo 3
Agora vamos calcular o nosso ... pra isso a gente precisa do ...
O intervalo é de de confiança, então...
A gente precisa do número de graus de liberdade, você lembra como é?
Então a gente tem que procurar na tabela por
Passo 4
Aí sim, vamos calcular o ...
Passo 5
Finalmente, montamos nosso intervalo... lembrando que é ... catalisador menos catalisador .
Como o intervalo de confiança pra diferença entre as médias ficou todo negativo, a gente pode dizer que a média do catalisador é estatisticamente menor do que a média do catalisador , concorda? Se o intervalo permitisse valores positivos, ou pelo menos o zero, as médias poderiam ser iguais ou a de poderia ser maior que a de ... maaass não é o caso.
Resposta
Sim, podemos afirmar que a média do catalisador A é estatisticamente menor do que a média do catalisador B.
Exercício Resolvido #2
PUC – 2013.1 – P3 - Intervalo de Confiança – Diferença entre Médias
Em um determinado shopping do Rio de Janeiro, queremos saber se os gastos médios de duas lojas com o mesmo perfil, podem ser considerados estatisticamente idênticos.
Tomou-se uma amostra de 17 clientes da loja “” e de 18 clientes da loja “”, obteve as seguintes estimativas:
Loja “”: e
Loja “”: e
Pede-se:
Encontre o intervalo de confiança para a diferença das médias das duas lojas ao nível de significância de 99,5%. Pelo resultado, pode-se afirmas que os gastos médios das duas lojas podem ser considerados estatisticamente iguais?
Passo 1
No enunciado a gente tem os dados de média e variância de duas amostras e pedem pra gente fazer um intervalo de confiança pra diferença entre as médias.
Bom a gente sabe que esse tipo de intervalo tem a seguinte cara:
E que o valor de é dado por:
Sendo que....
Só precisamos calcular tudo isso agora!
Passo 2
Vamos começar calculando e .
Ele quer um intervalo de de confiança.
Com isso:
Graus de liberdade
Procurando na tabela de dá no mesmo que pegar o valor referente na tabela da normal, já que o número de graus de liberdade é maior que .
Passo 3
Calcular .
Passo 4
Calcular o
Passo 5
Completar o intervalo:
Não se pode afirmar que a média é estatisticamente maior já que o zero está contido no intervalo de confiança. Isso significa, por exemplo, que a diferença das médias pode ser zero, ou seja, que elas podem ser iguais.
Resposta
Exercício Resolvido #3
PUC – 2013.2 – P3 -Intervalo de Confiança – Diferença entre Médias
Uma máquina produz peças circulares cujos diâmetros devem obedecer uma determinada especificação em , e, uma outra máquina foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são próximas, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das mesmas.
Tomou-se uma amostra de peças da máquina , e peças da máquina , tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais:
- Encontre o intervalo de confiança para a diferença das médias das duas máquinas ao nível de significância de e . Através deste resultado, explique se existe diferença das peças entre as duas máquinas.
Passo 1
Tá, a gente tem os dados das duas amostras e vai fazer um intervalo de confiança pra diferença entre as médias das amostras... um não, dois intervalos!
Independente do nível de significância, a cara do intervalo é a mesma:
Com:
O que vai mudar pra cada caso, é o , porque depende do nível de significância .
Passo 2
Vamos calcular primeiro esse aí.
são os números de elementos das amostras.
Jogando na calculadora...
Passo 3
Agora vamos calcular o que depende do .
O grau de liberdade é:
Pro intervalo de ..
Pro intervalo de ...
Passo 4
Agora vamos calcular para as duas situações..
Pra ...
Para ...
Passo 5
Agora só fazer os dois intervalos e tirar nossas conclusões..
Para ...
Agora presta atenção... como o zero estão contido no nosso intervalo, a gente pode considerar que as duas máquinas fazer peças estatisticamente idênticas. Entende porque? Se o zero está contido, ele é um dos possíveis resultados pra diferença entre as médias, e se essa diferença é zero, então as peças são idênticas, concorda?
Para ...
A mesma ideia, o zero está contido de novo, então podemos dizer que as máquinas produzem peças estatisticamente idênticas.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Deseja-se testar se uma nova dieta realmente ajuda as pessoas a perderem peso. pessoas são escolhidas aleatoriamente e colocadas no grupo submetido a dieta 1. Outras pessoas foram escolhidas aleatoriamente e colocadas no grupo submetido a dieta 2. Após alguns meses, a média de perda de peso da amostra que fez a dieta 1 foi de , e de para o grupo que fez a dieta 2. Sabendo que o desvio padrão populacional dos pesos de pessoas que fazem a dieta 1 é , e de pessoas que fazem a dieta 2 é , qual o intervalo de confiança da diferença entre essas médias a um nível de confiança de ?
Passo 1
O nível de confiança é complementar ao nível de significância, então...
Então:
Olhando na tabela :
Passo 2
Agora vamos calcular nosso , dado por:
Passo 3
Aplicando tudo na fórmula do :
Resposta
Exercício Resolvido #5
Slides Prof. Lucas Santana da Cunha - UEL
Um processo industrial usa uma ferramenta fabricada de aço tipo A, da qual uma amostra de 10 unidades apresentou vida média de 1400 horas e desvio-padrão de 120 horas. A mesma ferramenta passou a ser fabricada com aço tipo B e um lote de 20 unidades apresentou vida média de 1200 horas e desvio padrão de 100 horas. Desde que o processo de fabricação da ferramenta não mudou, pode-se supor idênticos os desvios padrão das populações normalmente distribuídas. Determinar o intervalo de confiança a 99% para a diferença entre as médias das populações de ambos os tipos de ferramenta e conclua
Passo 1
O nível de confiança é complementar ao nível de significância, então...
Então:
Nosso grau de liberdade é dado por:
Olhando na tabela com temos que:
Passo 2
Agora vamos calcular nosso , dado por:
Passo 3
Aplicando tudo na fórmula do :