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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 81

10-81. Suponha que desejemos testar contra

sendo a e r conhecidas. O tamanho total da amostra, N. deverá

ser determinado e a alocação das observações nas duas populações.

tal que n, + n, = N. deverá ser feita com base no custo. Se os custos

de amostragem para as populaçõcs 1 e 2 forem C, e C,, respectiva-

mente, encontre o tamanho das amostras, com o menor custo. que

fornecerá uma variância especificada para a diferença entre as mé-

dias das amostras.

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Partindo do pressuposto de que de σ 2 1 e σ 2 2 são conhecidos, sabemos que a variância da diferença das médias é

V X 1 - X 2 = σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2

Lembre-se de que a raiz quadrada da variância é o divisor na estatística de teste.

Seja

V X - 1 - X - 2 = c

onde c é uma constante.

Como precisamos determinar N com base no custo, precisamos minimizar C 1 n 1 + C 2 n 2 que da uma variância especificada

σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = c

ou igualmente

σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 - c = 0

Para fazer isso, usamos o multiplicador de Lagrange. Seja

f n 1 , n 2 , λ = C 1 n 1 + C 2 n 2 + λ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 - c

a partir do qual precisamos encontrar n 1 e n 2 encontrando as derivadas parciais e igualando-as com zero. Portanto,

∂ ∂ n 1 f n 1 , n 2 , λ = C 1 - λ σ 1 2 n 1 2 ∂ ∂ n 2 f n 1 , n 2 , λ = C 2 - λ σ 2 2 n 2 2 ∂ ∂ λ f n 1 , n 2 , λ = σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 - c

Passo 2

Resolvendo o sistema

C 1 - λ σ 1 2 n 1 2 = 0 C 2 - λ σ 2 2 n 2 2 = 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = c

para n 1 ,   n 2 , teremos escolhas mínimas para n 1 e n 2 (e para N que é N = n 1 + n 2 ).

Adicionando a primeira equação à segunda, nós temos

C 1 + C 2 - λ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 0

e agora substituindo a terceira equação neste, temos

C 1 + C 2 = λ c ,   o u   i g u a l m e n t e   λ = C 1 + C 2 c

Agora, colocando λ na primeira equação que obtemos (e renomeando c = k )

C 1 - C 1 + C 2 c σ 1 2 n 1 2 = 0 ,   o u   i g u a l m e n t e   n 1 = C 1 + C 2 k C 1 σ 1

e na segunda equação, obtemos

C 2 - C 1 + C 2 c σ 2 2 n 2 2 = 0 ,   o u   i g u a l m e n t e n 2 = C 1 + C 2 k C 2 σ 2

Resposta

n 1 = C 1 + C 2 h C 1 σ 1 , n 2 = C 1 + C 2 k C 2 σ 2

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